Polynomfunksjoner – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 4 · leksjon 4.4 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

En polynomfunksjon er en sum av potenser av x, som x³ − 3x. Her lærer du å finne nullpunktene ved å faktorisere, og hva graden sier om formen på grafen.

Dette er leksjon 4.4 Polynomfunksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Grad og form

Graden er den høyeste eksponenten. Når x blir stor, er det leddet med høyest grad som bestemmer. x³ er negativ for negative x og positiv for positive x, så grafen kommer nedenfra til venstre og går opp til høyre.

En tredjegradsfunksjon kan ha opptil tre nullpunkter, og en fjerdegradsfunksjon opptil fire.

(−2)³ = −8
2³ = 8

Metoden

1. Faktoriser. Mangler konstantleddet, setter du x utenfor først.
2. Bruk nullproduktregelen på alle faktorene. Husk både pluss og minus når du tar kvadratroten.
3. Bruk leddet med høyest grad til å skissere hvordan grafen går ytterst.

Eksempler

Eksempel 1: tredje grad

f(x) = x³ − 3x. Finn nullpunktene.

x³ − 3x = x(x² − 3)
x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3)
f(√3) = (√3)³ − 3 · √3 = 0

Svar: x = 0, x = √3 og x = −√3

Grafen går opp mot høyre og svinger mellom nullpunktene.

Eksempel 2: fjerde grad

Finn nullpunktene til f(x) = x⁴ − 5x² + 4.

x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4)
(x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

Svar: x = 1, x = −1, x = 2 og x = −2

Tenk på x² som én størrelse. To tall med produkt 4 og sum −5 er −1 og −4.

Øv selv: 15 oppgaver i andregradsfunksjoner og polynomer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme den negative løsningen. x² = 3 gir både √3 og −√3.
• Å dele på x og miste nullpunktet x = 0.
• Å tro at grafen går opp på begge sider. Det gjelder bare når graden er et partall og tallet foran er positivt.

På eksamen

Polynomfunksjoner kommer på del 1 som faktorisering og nullpunkter, og på del 2 sammen med derivasjon. Tell nullpunktene og sammenlign med graden. Skisser grafen for hånd med nullpunktene markert.

Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: polynomfunksjon grad nullpunkt

Les også

• Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
• Lineære funksjoner – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
• Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg
• Potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg
• Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner og polynomer: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.