Eksponentialfunksjoner – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 4 · leksjon 4.7 · eksamen: del 1 og del 2

Når noe endrer seg med den samme prosenten hver gang, er det eksponentiell vekst. Her lærer du å lage modellen f(x) = a · bˣ, regne fram og bakover i tid, og skille den fra lineær vekst.

Dette er leksjon 4.7 Eksponentialfunksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hvorfor du ganger

Øker noe med 5 %, har du 100 % + 5 % = 105 %, altså 1,05 av det du hadde. Å øke med 5 % er derfor det samme som å gange med 1,05. Minker noe med 20 %, er det 80 % igjen, og vekstfaktoren er 0,80.

100 % + 5 % = 105 % = 1,05
1 − 0,20 = 0,80

Reglene

1. Vekstfaktoren er 1 + p delt på 100 når noe øker, og 1 − p delt på 100 når noe minker.
2. Med startverdi a og vekstfaktor b er modellen f(x) = a · bˣ.
3. Bakover i tid deler du på vekstfaktoren én gang for hvert år, altså ganger med b opphøyd i ⁻ⁿ.

Lineær eller eksponentiell?

Lineær nedgang: like mange kroner hvert år. Eksponentiell nedgang: like mange prosent hvert år. En bil til 400 000 kr som mister 48 000 kr i året, er verdt 304 000 kr etter 2 år. Mister den 12 % i året, er den verdt 309 760 kr.

400 000 − 2 · 48 000 = 304 000
400 000 · 0,88² = 309 760

Eksempler

Eksempel 1: verditap

En bil koster 400 000 kr og taper 12 % av verdien hvert år. Lag en modell, og finn verdien etter 5 år.

1 − 0,12 = 0,88
f(5) = 400 000 · 0,88⁵
400 000 · 0,88⁵ ≈ 211 093

Svar: f(x) = 400 000 · 0,88ˣ. Etter 5 år er bilen verdt omtrent 211 093 kr.

Eksempel 2: bakover i tid

En by har 10 000 innbyggere i dag og vokser med 4 % i året. Hvor mange bodde der for 3 år siden?

10 000 · 1,04 opphøyd i ⁻³ ≈ 8 890

Svar: Det bodde omtrent 8 890 personer der for 3 år siden.

Å gange med 1,04 opphøyd i ⁻³ er det samme som å dele på 1,04 tre ganger.

Øv selv: 15 oppgaver i eksponentialfunksjoner med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke 0,12 som vekstfaktor. Det er det bilen mister. Det som er igjen, er 0,88.
• Å trekke fra 12 % av startverdien hvert år. Det er en lineær modell.
• Å gange med vekstfaktoren når du skal regne bakover. Bakover deler du.

På eksamen

Eksponentialfunksjoner kommer på del 1 og del 2. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin på del 2, så du regner potensene på en enkel vitenskapelig kalkulator og tegner grafen for hånd fra en verditabell. Skriv hva startverdien, vekstfaktoren og x betyr.

Leksjonen hører til modulen Funksjoner og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: eksponentialfunksjon vekstfaktor

Les også

• Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
• Lineære funksjoner – forklart steg for steg
• Andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
• Polynomfunksjoner – forklart steg for steg
• Rasjonale funksjoner og asymptoter – forklart steg for steg
• Potensfunksjoner – forklart steg for steg
• Grafer som skjærer hverandre – forklart steg for steg
• Eksponentialfunksjoner: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.