Linjer og plan i rommet: oppgaver med fasit
15 oppgaver i linjer og plan i rommet i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 8.5 Linjer i rommet, 8.6 Likningen for et plan i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Hva er en normalvektor til planet 2x − 3y − 3z + 3 = 0?
- A: [−3, −3, 2]
- B: [2, −3, −3, 3]
- C: [−2, −3, −3]
- D: [2, −3, −3]
Vis løsning på oppgave 1
Tallene foran x, y og z: [2, −3, −3].
Fasit: D: [2, −3, −3]
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 2
Hvordan finner du en normalvektor til planet gjennom A, B og C?
- A: AB × AC
- B: AB
- C: AB + AC
- D: AB · AC
Vis løsning på oppgave 2
AB × AC står vinkelrett på begge, og dermed på planet.
Fasit: A: AB × AC
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
Hva er en normalvektor til planet 3x + y − 2z + 3 = 0?
- A: [−3, 1, −2]
- B: [3, 1, −2]
- C: [−2, 1, 3]
- D: [3, 1, −2, 3]
Vis løsning på oppgave 3
Tallene foran x, y og z: [3, 1, −2].
Fasit: B: [3, 1, −2]
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
En linje går gjennom A(−1, 1, 3) og B(4, 4, 1). Hvilken vektor er en retningsvektor?
- A: [5, 3, −2]
- B: [4, 4, 1]
- C: [3, 5, 4]
- D: [−1, 1, 3]
Vis løsning på oppgave 4
AB = [5, 3, −2].
Fasit: A: [5, 3, −2]
Oppgave 5
Hvilket punkt på linjen x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t hører til t = −2?
- A: (−1, 6, 1)
- B: (−3, 4, 1)
- C: (1, 2, 3)
- D: (−4, 2, −2)
Vis løsning på oppgave 5
Sett inn t = −2: (−3, 4, 1).
Fasit: B: (−3, 4, 1)
Middels vanskelige
Oppgave 6
Ligger (2, 1, 2) i planet x + 2y − 2z = 0?
- A: ja
- B: nei
- C: kan ikke avgjøres
Vis løsning på oppgave 6
2 + 2 · 1 − 2 · 2 = 0, så svaret er ja.
Fasit: A: ja
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
En linje går gjennom A(−1, −1, 2) og B(1, −1, 4). Hvilken vektor er en retningsvektor?
- A: [−1, −1, 2]
- B: [2, 0, 2]
- C: [1, −1, 4]
- D: [0, −2, 6]
Vis løsning på oppgave 7
AB = [2, 0, 2].
Fasit: B: [2, 0, 2]
Oppgave 8
Hvilket punkt på linjen x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t hører til t = 3?
- A: (4, −4, 6)
- B: (1, 2, 3)
- C: (7, −1, 6)
- D: (6, −3, 3)
Vis løsning på oppgave 8
Sett inn t = 3: (7, −1, 6).
Fasit: C: (7, −1, 6)
Oppgave 9
Ligger (0, 2, 5) i planet x + 2y − 2z + 5 = 0?
- A: ja
- B: kan ikke avgjøres
- C: nei
Vis løsning på oppgave 9
0 + 2 · 2 − 2 · 5 + 5 = −1, så svaret er nei.
Fasit: C: nei
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 10
Finn likningen for planet gjennom (0, 0, 3) med normalvektor [−1, −2, 1].
- A: −x − 2y + z − 2 = 0
- B: −x − 2y + z = 0
- C: −x − 2y + z − 3 = 0
- D: −x − 2y + z + 3 = 0
Vis løsning på oppgave 10
−1(x) − 2(y) + 1(z − 3) = 0 gir −x − 2y + z − 3 = 0.
Fasit: C: −x − 2y + z − 3 = 0
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Mer krevende
Oppgave 11
Finn likningen for planet gjennom (1, 3, 2) med normalvektor [3, −2, 2].
- A: 3x − 2y + 2z + 1 = 0
- B: 3x − 2y + 2z − 1 = 0
- C: 3x − 2y + 2z = 0
- D: 3x − 2y + 2z − 2 = 0
Vis løsning på oppgave 11
3(x − 1) − 2(y − 3) + 2(z − 2) = 0 gir 3x − 2y + 2z − 1 = 0.
Fasit: B: 3x − 2y + 2z − 1 = 0
Fra leksjon 8.6 Likningen for et plan · Se forklaringen i videoen
Oppgave 12
Finn en parameterframstilling for linjen gjennom (−3, 4, 1) med retningsvektor [−1, 3, 3].
- A: x = −t, y = 3t, z = 3t
- B: x = −3 − t, y = 4 + 3t, z = 1 + 3t
- C: x = −1 − 3t, y = 3 + 4t, z = 3 + t
- D: x = −3 − t, y = 4 + 3t, z = 1
Vis løsning på oppgave 12
Punktet + t · retningsvektoren: x = −3 − t, y = 4 + 3t, z = 1 + 3t.
Fasit: B: x = −3 − t, y = 4 + 3t, z = 1 + 3t
Oppgave 13
Finn en parameterframstilling for linjen gjennom (−2, 4, −2) med retningsvektor [1, −3, 3].
- A: x = −2 + t, y = 4 − 3t, z = −2 + 3t
- B: x = 1 − 2t, y = −3 + 4t, z = 3 − 2t
- C: x = −2 + t, y = 4 − 3t, z = −2
- D: x = t, y = −3t, z = 3t
Vis løsning på oppgave 13
Punktet + t · retningsvektoren: x = −2 + t, y = 4 − 3t, z = −2 + 3t.
Fasit: A: x = −2 + t, y = 4 − 3t, z = −2 + 3t
Oppgave 14
Ligger (7, 0, 6) på linjen x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t?
- A: nei
- B: kan ikke avgjøres
- C: ja
Vis løsning på oppgave 14
x gir t = 3.
Da er y = −1 og z = 6, så svaret er nei.
Fasit: A: nei
Oppgave 15
Ligger (−1, 4, 2) på linjen x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 + t?
- A: nei
- B: ja
- C: kan ikke avgjøres
Vis løsning på oppgave 15
x gir t = −1.
Da er y = 3 og z = 2, så svaret er nei.
Fasit: A: nei
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: D: [2, −3, −3]
- Oppgave 2: A: AB × AC
- Oppgave 3: B: [3, 1, −2]
- Oppgave 4: A: [5, 3, −2]
- Oppgave 5: B: (−3, 4, 1)
- Oppgave 6: A: ja
- Oppgave 7: B: [2, 0, 2]
- Oppgave 8: C: (7, −1, 6)
- Oppgave 9: C: nei
- Oppgave 10: C: −x − 2y + z − 3 = 0
- Oppgave 11: B: 3x − 2y + 2z − 1 = 0
- Oppgave 12: B: x = −3 − t, y = 4 + 3t, z = 1 + 3t
- Oppgave 13: A: x = −2 + t, y = 4 − 3t, z = −2 + 3t
- Oppgave 14: A: nei
- Oppgave 15: A: nei
Oppgavene hører til leksjonene 8.5–8.6 i modulen Vektorer i rommet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Les også
- Linjer i rommet – forklart steg for steg
- Likningen for et plan – forklart steg for steg
- Skjæring, avstand og kuleflater: oppgaver med fasit
- Vektorproduktet: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i R2
- Begrepene i R2 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.