Hopp til innholdet

Trigonometriske likninger: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i trigonometriske likninger i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 1.3 Likninger med sinus, 1.4 Likninger med cosinus og tangens, 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Løs sin x = 1 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π
  2. B: x = π delt på 2
  3. C: x = 3π delt på 2
  4. D: x = 0
Vis løsning på oppgave 1

sin x er 1 bare i π delt på 2 på enhetssirkelen.

Fasit: B: x = π delt på 2

Fra leksjon 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Én løsning av sin x = a er x = π delt på 6. Hva er den andre løsningen i [0, 2π⟩?

  1. A: 5π delt på 6
  2. B: 11π delt på 6
  3. C: 7π delt på 6
  4. D: π delt på 6
Vis løsning på oppgave 2

π − π delt på 6 = 5π delt på 6.

Fasit: A: 5π delt på 6

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hva er den generelle løsningen av sin x = 1 delt på 2?

  1. A: x = π delt på 6 + n · 2π
  2. B: x = π delt på 6 + n · 2π eller x = 5π delt på 6 + n · 2π
  3. C: x = π delt på 6 + n · π
  4. D: x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
Vis løsning på oppgave 3

Løsningene i [0, 2π⟩ er π delt på 6 og 5π delt på 6.

Vi legger til n · 2π.

Fasit: B: x = π delt på 6 + n · 2π eller x = 5π delt på 6 + n · 2π

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Løs cos x = −√2 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = 3π delt på 4
  2. B: x = π delt på 4 eller x = 7π delt på 4
  3. C: x = 3π delt på 4 eller x = 7π delt på 4
  4. D: x = 3π delt på 4 eller x = 5π delt på 4
Vis løsning på oppgave 4

Referansevinkelen er π delt på 4.

Cosinus er negativ i andre og tredje kvadrant: 3π delt på 4 og 5π delt på 4.

Fasit: D: x = 3π delt på 4 eller x = 5π delt på 4

Fra leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Én løsning av sin x = a er x = 5π delt på 12. Hva er den andre løsningen i [0, 2π⟩?

  1. A: 5π delt på 12
  2. B: 7π delt på 12
  3. C: 19π delt på 12
  4. D: 17π delt på 12
Vis løsning på oppgave 5

π − 5π delt på 12 = 7π delt på 12.

Fasit: B: 7π delt på 12

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Løs cos x = √2 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = 3π delt på 4 eller x = 5π delt på 4
  2. B: x = π delt på 4
  3. C: x = π delt på 4 eller x = 3π delt på 4
  4. D: x = π delt på 4 eller x = 7π delt på 4
Vis løsning på oppgave 6

cos π delt på 4 = √2 delt på 2, og 2π − π delt på 4 = 7π delt på 4.

Fasit: D: x = π delt på 4 eller x = 7π delt på 4

Fra leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Løs tan x = 1 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π delt på 4
  2. B: x = π delt på 4 eller x = 3π delt på 4
  3. C: x = π delt på 4 eller x = 5π delt på 4
Vis løsning på oppgave 7

tan π delt på 4 = 1, og π delt på 4 + π = 5π delt på 4.

Fasit: C: x = π delt på 4 eller x = 5π delt på 4

Fra leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Likningen i u = cos x har løsningene u = −2 og u = −1. Hvilke gir løsninger for x?

  1. A: begge
  2. B: bare u = −1
  3. C: bare u = −2
  4. D: ingen av dem
Vis løsning på oppgave 8

cos x kan bare være mellom −1 og 1.

Svaret er: bare u = −1.

Fasit: B: bare u = −1

Fra leksjon 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Løs sin x = √3 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π delt på 3
  2. B: x = 4π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  3. C: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  4. D: x = π delt på 3 eller x = 2π delt på 3
Vis løsning på oppgave 9

sin π delt på 3 = √3 delt på 2.

Den andre løsningen er π − π delt på 3 = 2π delt på 3.

Fasit: D: x = π delt på 3 eller x = 2π delt på 3

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Løs sin x = −1 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = 7π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
  2. B: x = 7π delt på 6
  3. C: x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  4. D: x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
Vis løsning på oppgave 10

Referansevinkelen er π delt på 6.

Sinus er negativ i tredje og fjerde kvadrant: π + π delt på 6 = 7π delt på 6 og 2π − π delt på 6 = 11π delt på 6.

Fasit: C: x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Sett u = sin x i likningen 3 sin² x + sin x − 2 = 0. Hvilken likning får du?

  1. A: 3u² + u − 2 = 0
  2. B: 3u² − 2 = 0
  3. C: 3u² + u² − 2 = 0
  4. D: 3u + u − 2 = 0
Vis løsning på oppgave 11

sin² x = u² og sin x = u, så likningen blir 3u² + u − 2 = 0.

Fasit: A: 3u² + u − 2 = 0

Fra leksjon 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Løs 2 sin² x − sin x − 1 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π delt på 2, 7π delt på 6 eller 11π delt på 6
  2. B: sin x = 1 eller sin x = −1 delt på 2
  3. C: x = π delt på 2, 5π delt på 6 eller π delt på 6
  4. D: x = π delt på 2
Vis løsning på oppgave 12

(2 sin x + 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1 gir π delt på 2, og sin x = −1 delt på 2 gir 7π delt på 6 og 11π delt på 6.

Fasit: A: x = π delt på 2, 7π delt på 6 eller 11π delt på 6

Fra leksjon 1.7 Andregradslikninger i sinus og cosinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Løs sin x = 1 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
  2. B: x = π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  3. C: x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  4. D: x = π delt på 6
Vis løsning på oppgave 13

sin π delt på 6 = 1 delt på 2.

Den andre løsningen er π − π delt på 6 = 5π delt på 6.

Fasit: A: x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Løs sin x = −√3 delt på 2 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = 4π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  2. B: x = π delt på 3 eller x = 2π delt på 3
  3. C: x = 4π delt på 3 eller x = 2π delt på 3
  4. D: x = 4π delt på 3
Vis løsning på oppgave 14

Referansevinkelen er π delt på 3.

Sinus er negativ i tredje og fjerde kvadrant: π + π delt på 3 = 4π delt på 3 og 2π − π delt på 3 = 5π delt på 3.

Fasit: A: x = 4π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Fra leksjon 1.3 Likninger med sinus · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Løs 2 cos x − 1 = 0 for x ∈ [0, 2π⟩.

  1. A: x = π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  2. B: x = π delt på 3
  3. C: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  4. D: x = π delt på 3 eller x = 2π delt på 3
Vis løsning på oppgave 15

cos x = 1 delt på 2, så x = π delt på 3 eller x = 2π − π delt på 3 = 5π delt på 3.

Fasit: C: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Fra leksjon 1.4 Likninger med cosinus og tangens · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: B: x = π delt på 2
  2. Oppgave 2: A: 5π delt på 6
  3. Oppgave 3: B: x = π delt på 6 + n · 2π eller x = 5π delt på 6 + n · 2π
  4. Oppgave 4: D: x = 3π delt på 4 eller x = 5π delt på 4
  5. Oppgave 5: B: 7π delt på 12
  6. Oppgave 6: D: x = π delt på 4 eller x = 7π delt på 4
  7. Oppgave 7: C: x = π delt på 4 eller x = 5π delt på 4
  8. Oppgave 8: B: bare u = −1
  9. Oppgave 9: D: x = π delt på 3 eller x = 2π delt på 3
  10. Oppgave 10: C: x = 7π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  11. Oppgave 11: A: 3u² + u − 2 = 0
  12. Oppgave 12: A: x = π delt på 2, 7π delt på 6 eller 11π delt på 6
  13. Oppgave 13: A: x = π delt på 6 eller x = 5π delt på 6
  14. Oppgave 14: A: x = 4π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  15. Oppgave 15: C: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Oppgavene hører til leksjonene 1.3–1.7 i modulen Trigonometri og radianer, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.