Ligningssystemer med andregrad – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 2 · leksjon 2.6 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

En linje og en parabel kan krysse hverandre i to punkter, ett punkt eller ingen. Her lærer du å finne skjæringspunktene ved regning, og å svare med både x og y.

Dette er leksjon 2.6 Ligningssystemer med andregrad i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Skjæringspunkter

Der grafene krysser hverandre, har de samme x og samme y. Er begge uttrykkene lik y, kan du sette dem like hverandre.

Nullproduktregelen

Er et produkt lik 0, må en av faktorene være 0. (x − 2)(x + 1) = 0 gir x = 2 eller x = −1.

For å bruke regelen må du faktorisere. x² − x − 2 trenger to tall med produkt −2 og sum −1. Det er −2 og 1.

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)

Metoden

1. Sett uttrykkene lik hverandre.
2. Samle alt på én side, så det står 0 på den andre. Faktoriser, eller bruk andregradsformelen.
3. Sett hver x inn i den enkleste ligningen, og finn y. Svar med punkter.

Eksempler

Eksempel 1: linje og parabel

Finn skjæringspunktene mellom y = x² − 1 og y = x + 1.

x² − 1 = x + 1
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 eller x = −1
y = x + 1

Svar: Skjæringspunktene er (2, 3) og (−1, 0).

Sjekk i parabelen: 2² − 1 = 3 og (−1)² − 1 = 0. Begge punktene ligger på begge grafene.

Eksempel 2: y = x² og en linje

Finn skjæringspunktene mellom y = x² og y = x + 2.

x² = x + 2
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 eller x = −1
y = x²

Svar: Skjæringspunktene er (2, 4) og (−1, 1).

Øv selv: 12 oppgaver i ligningssystemer med andregrad med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å stoppe når x er funnet. Et punkt trenger både x og y.
• Å gi bare ett av punktene. To løsninger for x gir to punkter.
• Å dele på x for å forenkle. Da kan du miste løsningen x = 0.

På eksamen

Skjæringspunkter kommer på del 1 som regning og på del 2 sammen med grafer. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin på del 2, så du regner punktene ut og tegner grafene for hånd. Svar alltid med punkter i parentes.

Leksjonen hører til modulen Ligninger, ulikheter og formler og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: skjæringspunkt parabel

Les også

• Førstegradsligninger med brøk – forklart steg for steg
• Sette opp og snu formler – forklart steg for steg
• Ligninger med x i nevneren – forklart steg for steg
• Ligningssystemer med to ukjente
• Ligningssystemer med tre ukjente – forklart steg for steg
• Førstegradsulikheter – forklart steg for steg
• Ligninger med x i eksponenten – forklart steg for steg
• Ligningssystemer med andregrad: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.