Tredjegradsligninger med polynomdivisjon – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 3 · leksjon 3.7 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

En tredjegradsligning kan ha tre løsninger. Her lærer du å finne den første ved å prøve enkle tall, dele med polynomdivisjon og finne de andre med en andregradsligning.

Dette er leksjon 3.7 Tredjegradsligninger med polynomdivisjon i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Fra faktorer til polynom

(x − 1)(x − 3)(x + 2) er 0 når x er 1, 3 eller −2. Ganger du ut, får du x³ − 2x² − 5x + 6. Konstantleddet 6 er produktet av tallene i parentesene.

Derfor er en heltallig løsning et tall som går opp i konstantleddet. Det er de tallene du prøver først.

(x − 1)(x − 3)(x + 2) = x³ − 2x² − 5x + 6

Metoden

1. Prøv tall som går opp i konstantleddet, til du finner en a der P(a) = 0.
2. Del polynomet på x − a med polynomdivisjon. Da får du et andregradsuttrykk.
3. Løs andregradsligningen. Sammen med a har du alle løsningene.

Eksempler

Eksempel 1: tre løsninger

Løs ligningen x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.

1³ − 2 · 1² − 5 · 1 + 6 = 0
x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x² − x − 6)
(x − 1)(x − 3)(x + 2) = 0
x = 1 eller x = 3 eller x = −2

Svar: x = 1, x = 3 eller x = −2

Andregradsuttrykket x² − x − 6 har nullpunktene 3 og −2, fordi 3 · (−2) = −6 og 3 + (−2) = 1.

Eksempel 2: med konjugatsetningen

Løs ligningen x³ − x² − 4x + 4 = 0.

1³ − 1² − 4 · 1 + 4 = 0
x³ − x² − 4x + 4 = (x − 1)(x² − 4)
(x − 1)(x − 2)(x + 2) = 0
x = 1 eller x = 2 eller x = −2

Svar: x = 1, x = 2 eller x = −2

Øv selv: 15 oppgaver i polynomdivisjon med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å stoppe etter den første løsningen. Andregradsuttrykket gir de andre.
• Å dele på x + 1 når x = 1 er løsningen. Løsningen a gir faktoren x − a.
• Å prøve tilfeldige tall. Prøv tallene som går opp i konstantleddet, også de negative.

På eksamen

Tredjegradsligninger kommer på del 1, ofte med hint om én løsning. Vis at P(a) = 0, vis polynomdivisjonen og skriv alle løsningene til slutt. Sett gjerne svaret som faktorer, så ser sensor at alt henger sammen.

Leksjonen hører til modulen Andregradsligninger og polynomer og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: tredjegradsligning faktor

Les også

• Enkle andregradsligninger – forklart steg for steg
• Fullstendige kvadraters metode forklart
• Andregradsformelen: slik løser du andregradsligninger
• Faktorisere andregradsuttrykk – forklart steg for steg
• Andregradsulikheter med fortegnslinje
• Polynomdivisjon: slik deler du polynomer
• Ulikheter med brøk og polynomer – forklart steg for steg
• Polynomdivisjon: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.