Andregradsformelen: slik løser du andregradsligninger

Q: Hva er andregradsformelen?

For ax² + bx + c = 0 er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).

Q: Hva er diskriminanten?

Tallet b² − 4ac under rottegnet. Er det positivt, er det to løsninger. Er det null, én. Er det negativt, ingen.

Q: Kalles det abc-formelen?

Ja, mange kaller andregradsformelen abc-formelen, fordi den bruker tallene a, b og c.

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Andregradsformelen løser alle ligninger på formen ax² + bx + c = 0. Den kalles også abc-formelen, og du må kunne bruke den sikkert uten kalkulator.

Lær dette i Sophus: 3.3 Andregradsformelen i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

Skriv ligningen på formen ax² + bx + c = 0, med null på høyre side. Da er

x = −b ± √(b² − 4ac)2a

± betyr at du regner ut én løsning med pluss og én med minus.

Diskriminanten

Tallet under rottegnet, b² − 4ac, kalles diskriminanten. Den forteller hvor mange løsninger ligningen har:

b² − 4ac > 0: to løsninger.
b² − 4ac = 0: én løsning.
b² − 4ac < 0: ingen løsning.

Når trenger du den ikke?

Mangler c, setter du x utenfor: x² − 5x = 0 gir x(x − 5) = 0, så x = 0 eller x = 5. Mangler b, løser du direkte: x² = 9 gir x = ±3. Det går raskere og gir færre feil. Se også fullstendige kvadraters metode, som er der formelen kommer fra.

Eksempler

Eksempel 1: to løsninger

Løs x² − 2x − 15 = 0. Her er a = 1, b = −2 og c = −15.

b² − 4ac = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64

x = 2 ± 82 gir x = 5 eller x = −3

Eksempel 2: a er ikke 1

Løs 2x² + 3x − 2 = 0. Her er a = 2, b = 3 og c = −2.

b² − 4ac = 9 + 16 = 25 · x = −3 ± 54

x = 24 = 0,5 eller x = −84 = −2

Eksempel 3: ingen og én løsning

x² + 4x + 5 = 0 har diskriminant 16 − 20 = −4, som er negativ, så ligningen har ingen løsning.

x² − 6x + 9 = 0 har diskriminant 36 − 36 = 0, så den har én løsning: x = 62 = 3.

Vanlige feil

Å bruke formelen før høyre side er null. x² − 2x = 15 må først skrives x² − 2x − 15 = 0.
Å skrive −b feil når b er negativ. Er b = −2, er −b = 2.
Å regne −2² = −4 i diskriminanten. (−2)² = 4.
Å dele bare roten på 2a. Hele telleren, −b ± √(…), skal deles på 2a.

På eksamen

Andregradsligninger kommer på del 1 i 1T hvert år, og ofte som en del av andre oppgaver: nullpunkter til en funksjon, skjæringspunkter mellom grafer, eller der den deriverte er null. Tallene er valgt slik at diskriminanten blir et kvadrattall, så du kan regne uten kalkulator. Fra våren 2027 er del 2 også uten datamaskin, så formelen trengs der også.

I kurset hører temaet til leksjon 3.3 i modulen Andregradsligninger og polynomer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er andregradsformelen?

For ax² + bx + c = 0 er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).

Hva er diskriminanten?

Tallet b² − 4ac under rottegnet. Er det positivt, er det to løsninger. Er det null, én. Er det negativt, ingen.

Kalles det abc-formelen?

Ja, mange kaller andregradsformelen abc-formelen, fordi den bruker tallene a, b og c.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.