Andregradsulikheter med fortegnslinje

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

En andregradsulikhet som x² − x − 6 > 0 har ikke én løsning, men et område av x-verdier. Den sikreste metoden er å faktorisere og tegne en fortegnslinje.

Lær dette i Sophus: 3.5 Andregradsulikheter i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Metoden

Få null på høyre side.
Faktoriser venstre side, for eksempel med nullpunktene.
Tegn en fortegnslinje for hver faktor, og en for produktet.
Les av hvor produktet har riktig fortegn.

Fortegnslinja

En faktor som x − 3 er negativ til venstre for 3 og positiv til høyre. Produktet av to faktorer er positivt der de har samme fortegn, og negativt der de har ulikt. Tegn heltrukket linje der faktoren er positiv, stiplet der den er negativ, og 0 i nullpunktet.

Grafisk

x² − x − 6 > 0 betyr: hvor ligger grafen over x-aksen? En parabel som vender den hule siden opp, er over aksen utenfor nullpunktene og under mellom dem.

Eksempler

Eksempel 1: større enn null

Løs x² − x − 6 > 0.

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)

Nullpunktene er −2 og 3. Prøv et tall i hvert område: x = −3 gir (−6) · (−1) = 6, som er positivt. x = 0 gir (−3) · 2 = −6, negativt. x = 4 gir 1 · 6 = 6, positivt.

x < −2 eller x > 3

Eksempel 2: negativt tall foran x²

Løs −x² + 4x ≥ 0.

x(4 − x) ≥ 0

Faktorene er null i 0 og 4. Mellom dem er begge positive. x = 2 gir 2 · 2 = 4. Utenfor har de ulikt fortegn.

0 ≤ x ≤ 4

Eksempel 3: ingen nullpunkter

Løs x² + 2x + 3 > 0. Diskriminanten er 4 − 12 = −8, så uttrykket har ingen nullpunkter. Det er positivt for x = 0 (det er 3), og skifter aldri fortegn.

Ulikheten gjelder for alle x.

Vanlige feil

Å løse ulikheten som en ligning og svare x = −2 eller x = 3.
Å dele på x eller på et uttrykk som kan være negativt. Da kan ulikhetstegnet snu, og du mister løsninger.
Å glemme om endepunktene er med: ≥ tar med nullpunktene, > gjør det ikke.
Å gange med −1 uten å snu ulikhetstegnet.

På eksamen

Andregradsulikheter kommer på del 1 i 1T, og fortegnslinja brukes også når du drøfter funksjoner med den deriverte. Sensor vil se fortegnslinja, så tegn den ryddig selv om du ser svaret. Ulikheter med brøk løses på samme måte, med en egen linje for nevneren.

I kurset hører temaet til leksjon 3.5 i modulen Andregradsligninger og polynomer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan løser jeg en andregradsulikhet?

Få null på høyre side, faktoriser, tegn fortegnslinje for faktorene og produktet, og les av hvor produktet har riktig fortegn.

Hvorfor kan jeg ikke dele på x?

Fordi x kan være negativ, og da snur ulikhetstegnet. Du vet ikke hvilken vei, så du mister eller får feil løsninger.

Hva gjør jeg hvis uttrykket ikke kan faktoriseres?

Har uttrykket negativ diskriminant, har det samme fortegn for alle x. Sjekk ett tall, for eksempel x = 0.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.