Fullstendige kvadraters metode forklart

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Fullstendige kvadraters metode skriver et andregradsuttrykk som et kvadrat pluss et tall. Den løser andregradsligninger, viser hvor bunnpunktet er, og er beviset for andregradsformelen.

Lær dette i Sophus: 3.2 Fullstendige kvadraters metode i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Ideen

Første kvadratsetning sier at (x + 3)² = x² + 6x + 9. Har du x² + 6x, mangler bare 9 for å få et fullstendig kvadrat. Du legger til det som mangler, og trekker det fra igjen, så verdien ikke endres:

x² + 6x = x² + 6x + 9 − 9 = (x + 3)² − 9

Oppskrift

Ta halvparten av tallet foran x (her 6 : 2 = 3).
Skriv (x + 3)², og trekk fra kvadratet av halvparten (3² = 9).
Ta med resten av leddene.

Er tallet foran x² ikke 1, setter du det utenfor først.

Eksempler

Eksempel 1: løs en ligning

Løs x² + 6x − 7 = 0.

(x + 3)² − 9 − 7 = 0 · (x + 3)² = 16

x + 3 = ±4 gir x = 1 eller x = −7

Eksempel 2: finn bunnpunktet

Skriv f(x) = x² − 4x + 7 med fullstendig kvadrat.

f(x) = (x − 2)² − 4 + 7 = (x − 2)² + 3

Kvadratet er aldri negativt og er null når x = 2. Derfor er minste verdi 3, og bunnpunktet er (2, 3).

Eksempel 3: oddetall foran x

Løs x² + 5x + 4 = 0. Halvparten av 5 er 2,5, og 2,5² = 6,25.

(x + 2,5)² − 6,25 + 4 = 0 · (x + 2,5)² = 2,25

x + 2,5 = ±1,5 gir x = −1 eller x = −4

Vanlige feil

Å glemme å trekke fra kvadratet: x² + 6x er ikke (x + 3)².
Å ta halvparten av feil tall. Det er tallet foran x, ikke konstantleddet.
Å glemme ± når du tar kvadratroten, så du mister én løsning.

På eksamen

På del 1 i 1T kan du bli bedt om å løse en ligning eller finne topp- eller bunnpunkt «ved å bruke fullstendige kvadraters metode». Da må du vise metoden, selv om andregradsformelen gir samme svar. Metoden brukes også i bevisoppgaver, for eksempel for å vise hvor andregradsformelen kommer fra.

I kurset hører temaet til leksjon 3.2 i modulen Andregradsligninger og polynomer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er fullstendige kvadraters metode?

En metode der du skriver x² + bx som (x + b/2)² − (b/2)², så du kan løse ligningen eller lese av bunnpunktet.

Hvorfor lære metoden når vi har andregradsformelen?

Fordi den viser hvor formelen kommer fra, gir topp- og bunnpunktet direkte, og fordi eksamen kan be om den.

Hva gjør jeg når tallet foran x² ikke er 1?

Sett tallet utenfor en parentes først, og bruk metoden på det som står inni.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.