Polynomdivisjon: slik deler du polynomer

Matematikk 1T · Vg1, teoretisk matematikk · eksamen: del 1

Polynomdivisjon fungerer som oppstilt divisjon med tall. Du bruker den til å faktorisere et polynom når du kjenner ett nullpunkt, og til å løse tredjegradsligninger.

Lær dette i Sophus: 3.6 Polynomdivisjon i Matematikk 1T, med video og øving. Se leksjonen

Steg for steg

Del det første leddet i polynomet på det første leddet i divisoren. Det er første ledd i svaret.
Gang hele divisoren med dette leddet, og trekk fra.
Hent ned neste ledd, og gjenta til du er ferdig.

Nullpunkt og faktor

Er P(a) = 0, går divisjonen P(x) : (x − a) opp, og (x − a) er en faktor. Derfor prøver du ofte små tall som 1, −1, 2 og −2 for å finne et nullpunkt før du deler.

Eksempler

Eksempel 1: divisjon som går opp

Regn ut (x³ − 2x² − 5x + 6) : (x − 1).

x³ : x = x². x²(x − 1) = x³ − x². Rest: −x² − 5x

−x² : x = −x. −x(x − 1) = −x² + x. Rest: −6x + 6

−6x : x = −6. −6(x − 1) = −6x + 6. Rest: 0

Svaret er x² − x − 6.

Eksempel 2: løs en tredjegradsligning

Løs x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. Prøv x = 1: 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Altså er (x − 1) en faktor, og fra eksempel 1 får vi

(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) = 0

Løsningene er x = 1, x = 3 og x = −2.

Eksempel 3: med rest

Regn ut (2x² + 3x + 4) : (x + 1).

2x² : x = 2x. 2x(x + 1) = 2x² + 2x. Rest: x + 4

x : x = 1. 1 · (x + 1) = x + 1. Rest: 3

(2x² + 3x + 4) : (x + 1) = 2x + 1 + 3x + 1

Vanlige feil

Å glemme å bytte fortegn når du trekker fra. Sett parentes rundt det du trekker fra.
Å hoppe over et ledd som mangler. Skriv for eksempel x³ + 0x² − 4x + 3, så kolonnene stemmer.
Å dele på (x − a) når du har prøvd x = −a. Er P(−2) = 0, er faktoren (x + 2).

På eksamen

Polynomdivisjon er et typisk del 1-tema i 1T, ofte i samme oppgave som en tredjegradsligning: «vis at x = 1 er en løsning, og finn de andre». Sensor ser etter oppstillingen, så skriv den ryddig. Polynomdivisjon er også nyttig i R1 når du skal finne grenseverdier og asymptoter.

I kurset hører temaet til leksjon 3.6 i modulen Andregradsligninger og polynomer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er polynomdivisjon?

Oppstilt divisjon der du deler et polynom på et annet, ledd for ledd, slik som med tall.

Hvordan vet jeg at divisjonen går opp?

Divisjonen med (x − a) går opp hvis P(a) = 0. Sett inn a i polynomet og sjekk.

Hva gjør jeg med resten?

Skriv den som en brøk med divisoren i nevneren: svaret + rest/(divisor).

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.