Numerisk integrasjon med programmering – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 5 · leksjon 5.6 · eksamen: del 2

Noen integraler kan du ikke regne ut eksakt. Da kan du tilnærme dem med trapeser. Her lærer du trapesmetoden, for hånd og som et kort Python-program.

Dette er leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Trapeser i stedet for rektangler

Trapeser følger grafen bedre enn rektangler. Arealet av et trapes er bredden ganger gjennomsnittet av de to høydene. Summen av trapesene kalles trapesmetoden.

Reglene

1. Bredden er h = b − a delt på n.
2. Summen er h delt på 2 · (første verdi + 2 · alle verdiene i midten + siste verdi).
3. Med flere trapeser blir tilnærmingen bedre.

Når bruker du numerisk integrasjon?

Noen funksjoner har ingen antiderivert du kan skrive opp, og noen ganger har du bare målinger i en tabell. Da er en numerisk metode det beste du kan gjøre. Trapesmetoden trenger bare funksjonsverdiene i punktene.

Eksempler

Eksempel 1: to trapeser

Bruk trapesmetoden med to trapeser på ∫₀² x² dx.

2 − 0 delt på 2 = 1
1 delt på 2 · (0² + 2 · 1² + 2²) = 3

Svar: Trapesmetoden gir 3. Det eksakte svaret er 8 delt på 3.

Verdiene er f(0), f(1) og f(2). Bare verdien i midten ganges med 2.

Eksempel 2: i Python

Hva skriver programmet ut?

def f(x):
    return x**2

a = 0
b = 2
n = 4
h = (b - a)/n
s = (f(a) + f(b))/2
for i in range(1, n):
    s = s + f(a + i*h)
print(s*h)

0² + 2² delt på 2 = 2
2 + 0,5² + 1² + 1,5² = 5,5
5,5 · 0,5 = 2,75

Svar: Programmet skriver ut 2.75, som er nærmere 8 delt på 3 enn svaret med to trapeser.

Med fire trapeser er h = 0,5. Løkka legger til verdiene i de tre punktene i midten.

Øv selv: 15 oppgaver i areal mellom grafer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å gange endepunktene med 2. Bare punktene i midten ganges med 2.
• Å glemme å gange med h delt på 2.
• Å tro at trapesmetoden gir det eksakte svaret. Den gir en tilnærming.

På eksamen

Trapesmetoden og programmer for den kan komme på del 2. Fra våren 2027 kjører du ikke programmet, så du må kunne følge det for hånd. Skriv h, verdiene og summen tydelig.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: trapesmetoden numerisk integrasjon Python

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler og ubestemte integraler
• Integral som grenseverdi av summer – forklart steg for steg
• Bestemt integral og analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Bestemt integral og areal under grafer
• Areal mellom grafer: oppgaver med fasit
• Integrasjon forklart: hva et integral egentlig er · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.