Integral som grenseverdi av summer – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 5 · leksjon 5.3 · eksamen: del 1 og del 2

Arealet under en graf kan tilnærmes med rektangler. Her lærer du å regne ut venstresummer og høyresummer, og hvorfor integralet er grenseverdien når rektanglene blir smalere.

Dette er leksjon 5.3 Integral som grenseverdi av summer i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Areal med rektangler

Del intervallet i n like deler, og tegn et rektangel over hver del. Summen av arealene er omtrent arealet under grafen. Med flere og smalere rektangler blir tilnærmingen bedre.

Reglene

1. Bredden er Δx = b − a delt på n.
2. I en venstresum er høyden funksjonsverdien i venstre endepunkt. I en høyresum er den i høyre endepunkt.
3. Integralet er grenseverdien av summen når n går mot uendelig.

Hvorfor grenseverdien?

Når funksjonen vokser, er venstresummen for liten og høyresummen for stor. Det eksakte arealet ligger mellom dem. Gjør du rektanglene smalere, kommer de to summene nærmere hverandre, og begge nærmer seg det samme tallet. Det tallet er integralet.

Eksempler

Eksempel 1: venstresum

Tilnærm ∫₀² x² dx med fire rektangler og venstre endepunkt.

2 − 0 delt på 4 = 0,5
0,5 · (0² + 0,5² + 1² + 1,5²) = 0,5 · 3,5 = 1,75

Svar: Venstresummen er 1,75.

Høydene er f(0), f(0,5), f(1) og f(1,5).

Eksempel 2: høyresum

Regn ut høyresummen med de samme rektanglene, og sammenlign med det eksakte svaret 8 delt på 3.

0,5 · (0,5² + 1² + 1,5² + 2²) = 0,5 · 7,5 = 3,75
8 delt på 3 ≈ 2,67

Svar: Høyresummen er 3,75. Det eksakte svaret, omtrent 2,67, ligger mellom venstresummen og høyresummen.

Øv selv: 15 oppgaver i bestemte integraler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme å gange med bredden Δx. Da får du 3,5 i stedet for 1,75.
• Å bruke høyre endepunkt når oppgaven sier venstre.
• Å tro at venstresummen alltid er for liten. Det gjelder bare når funksjonen vokser.

På eksamen

Riemannsummer kommer på del 1 og del 2. Tegn rektanglene, skriv bredden og høydene, og vis summen. Fra våren 2027 regner du summen for hånd eller på en enkel kalkulator.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: riemannsum venstresum grenseverdi

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler og ubestemte integraler
• Bestemt integral og analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Bestemt integral og areal under grafer
• Numerisk integrasjon med programmering – forklart steg for steg
• Bestemte integraler: oppgaver med fasit
• Integrasjon forklart: hva et integral egentlig er · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.