Hopp til innholdet

Areal mellom grafer: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i areal mellom grafer i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.5 Areal under og mellom grafer, 5.6 Numerisk integrasjon med programmering i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hvilket integral gir arealet mellom f (øverst) og g fra a til b?

  1. A: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx
  2. B: ∫ₐᵇ f(x) · g(x) dx
  3. C: ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx
  4. D: ∫ₐᵇ (g(x) − f(x)) dx
Vis løsning på oppgave 1

Arealet mellom grafene er ∫(øverste − nederste) dx.

Fasit: A: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hvilken formel er trapesmetoden med 2 trapeser?

  1. A: h delt på 2(f₀ + 2f₁ + f₂)
  2. B: h(f₀ + f₁ + f₂)
  3. C: h delt på 2(2f₀ + 2f₁ + 2f₂)
  4. D: h delt på 2(f₀ + f₁ + f₂)
Vis løsning på oppgave 2

Endepunktene én gang, midten to ganger, ganget med h delt på 2.

Fasit: A: h delt på 2(f₀ + 2f₁ + f₂)

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Bruk trapesmetoden med 4 trapeser på ∫₀² x² dx.

Vis løsning på oppgave 3

0,5 delt på 2(0 + 2(0,25 + 1 + 2,25) + 4) = 2,75.

Fasit: 2,75

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Bruk trapesmetoden med 1 trapes på ∫₀² x² dx.

Vis løsning på oppgave 4

2 delt på 2(0 + 4) = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn arealet mellom y = 3x og y = x² for x ∈ [0, 3].

  1. A: 9
  2. B: −9 delt på 2
  3. C: 27 delt på 2
  4. D: 9 delt på 2
Vis løsning på oppgave 5

∫₀³ (3x − x²) dx = 27 delt på 2 − 9 = 9 delt på 2.

Fasit: D: 9 delt på 2

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Hvilken graf ligger øverst for x ∈ [1, 2]: y = x eller y = x²?

  1. A: de ligger like høyt
  2. B: y = x²
  3. C: y = x
Vis løsning på oppgave 6

Med x = 3 delt på 2: 9 delt på 4 > 3 delt på 2, så y = x² ligger øverst.

Fasit: B: y = x²

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Finn arealet mellom x-aksen og y = x² − 3x for x ∈ [0, 3].

  1. A: −9 delt på 2
  2. B: 0
  3. C: 9 delt på 2
  4. D: 9
Vis løsning på oppgave 7

∫₀³ (x² − 3x) dx = −9 delt på 2.

Arealet er 9 delt på 2.

Fasit: C: 9 delt på 2

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Trapesmetoden på [2, 6] med 4 trapeser. Hva er h?

Vis løsning på oppgave 8

h = 6 − 2 delt på 4 = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn arealet mellom y = 2x og y = x² for x ∈ [0, 2].

  1. A: 4
  2. B: −4 delt på 3
  3. C: 8 delt på 3
  4. D: 4 delt på 3
Vis løsning på oppgave 9

∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8 delt på 3 = 4 delt på 3.

Fasit: D: 4 delt på 3

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Hvilken graf ligger øverst for x ∈ [0, 1]: y = x eller y = x²?

  1. A: de ligger like høyt
  2. B: y = x²
  3. C: y = x
Vis løsning på oppgave 10

Med x = 1 delt på 2: 1 delt på 2 > 1 delt på 4, så y = x ligger øverst.

Fasit: C: y = x

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn arealet mellom x-aksen og y = x² − x for x ∈ [0, 1].

  1. A: 0
  2. B: 1 delt på 3
  3. C: 1 delt på 6
  4. D: −1 delt på 6
Vis løsning på oppgave 11

∫₀¹ (x² − x) dx = −1 delt på 6.

Arealet er 1 delt på 6.

Fasit: C: 1 delt på 6

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Trapesmetoden på [0, 10] med 5 trapeser. Hva er h?

Vis løsning på oppgave 12

h = 10 − 0 delt på 5 = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Finn arealet mellom y = x og y = x² for x ∈ [0, 1].

  1. A: 1 delt på 3
  2. B: 1 delt på 6
  3. C: −1 delt på 6
  4. D: 1 delt på 2
Vis løsning på oppgave 13

∫₀¹ (x − x²) dx = 1 delt på 2 − 1 delt på 3 = 1 delt på 6.

Fasit: B: 1 delt på 6

Fra leksjon 5.5 Areal under og mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Bruk trapesmetoden med 2 trapeser på ∫₀² x dx.

Vis løsning på oppgave 14

h = 1.

1 delt på 2(0 + 2 · 1 + 2) = 2.

Det er eksakt, fordi grafen er en rett linje.

Fasit: 2

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Bruk trapesmetoden med 2 trapeser på ∫₀⁴ x dx.

Vis løsning på oppgave 15

h = 2.

2 delt på 2(0 + 2 · 2 + 4) = 8.

Det er eksakt, fordi grafen er en rett linje.

Fasit: 8

Fra leksjon 5.6 Numerisk integrasjon med programmering · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx
  2. Oppgave 2: A: h delt på 2(f₀ + 2f₁ + f₂)
  3. Oppgave 3: 2,75
  4. Oppgave 4: 4
  5. Oppgave 5: D: 9 delt på 2
  6. Oppgave 6: B: y = x²
  7. Oppgave 7: C: 9 delt på 2
  8. Oppgave 8: 1
  9. Oppgave 9: D: 4 delt på 3
  10. Oppgave 10: C: y = x
  11. Oppgave 11: C: 1 delt på 6
  12. Oppgave 12: 2
  13. Oppgave 13: B: 1 delt på 6
  14. Oppgave 14: 2
  15. Oppgave 15: 8

Oppgavene hører til leksjonene 5.5–5.6 i modulen Integrasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.