Bestemt integral og analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
Analysens fundamentalteorem knytter derivasjon og integrasjon sammen. Her lærer du å regne ut bestemte integraler med en antiderivert.
Dette er leksjon 5.4 Bestemt integral og analysens fundamentalteorem i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Arealet med en antiderivert
Med riemannsummer måtte du regne mange rektangler. Fundamentalteoremet sier at det bestemte integralet fra a til b er F(b) − F(a), der F er en antiderivert til f.
Reglene
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
- I et bestemt integral tar du ikke med + C. Den forsvinner, fordi C − C = 0.
- F er en antiderivert til f, altså er F′ = f.
Areal og fortegn
Ligger grafen over x-aksen, er det bestemte integralet lik arealet under grafen. Ligger grafen under x-aksen, blir integralet negativt. Skal du finne et areal, må du derfor sjekke hvor grafen ligger, og dele opp integralet ved nullpunktene.
Eksempler
Eksempel 1: et polynom
Regn ut ∫₁³ 2x dx.
F(x) = x²
F(3) − F(1) = 3² − 1² = 8
Svar: ∫₁³ 2x dx = 8
Du skriver antiderivert i en hakeparentes med grensene, [x²]₁³, og setter inn øvre grense minus nedre grense.
Eksempel 2: med eˣ
Regn ut ∫₀¹ eˣ dx.
e¹ − e⁰ = e − 1
e − 1 ≈ 1,72
Svar: ∫₀¹ eˣ dx = e − 1 ≈ 1,72
eˣ er sin egen antiderivert.
Øv selv: 15 oppgaver i bestemte integraler med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å regne F(a) − F(b) og få −8. Det er øvre grense minus nedre grense.
- Å ta med + C i et bestemt integral.
- Å sette grensene inn i f i stedet for i F.
På eksamen
Bestemte integraler kommer på del 1, der du må integrere for hånd. Fra våren 2027 regner du dem også for hånd på del 2, og bruker kalkulatoren til tallene. Skriv hakeparentesen med grensene, så ser sensor framgangsmåten.
Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: bestemt integral fundamentalteorem grenser
Les også
- Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
- Integrasjonsregler og ubestemte integraler
- Integral som grenseverdi av summer – forklart steg for steg
- Bestemt integral og areal under grafer
- Numerisk integrasjon med programmering – forklart steg for steg
- Bestemte integraler: oppgaver med fasit
- Integrasjon forklart: hva et integral egentlig er · blogg
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.