Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 5 · leksjon 5.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Å integrere er å derivere baklengs. Her lærer du å finne en antiderivert til et polynom, og hvorfor du skriver + C.

Dette er leksjon 5.1 Antiderivert og ubestemt integral i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Derivasjon baklengs

Deriverer du x³, får du 3x². En antiderivert til 3x² er derfor x³. Men x³ + 5 har også den deriverte 3x². Derfor skriver du + C i et ubestemt integral, der C er en konstant.

Reglene

1. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ delt på n + 1 + C, når n ikke er −1.
2. En konstant blir til konstanten ganger x.
3. Deriver svaret. Da skal du få det du startet med.

Hvorfor + C?

Deriverer du en konstant, får du 0. Derfor har x³, x³ + 5 og x³ − 2 alle den samme deriverte, 3x². Alle disse er antideriverte til 3x², og + C står for alle mulighetene på en gang.

Eksempler

Eksempel 1: et polynom

Finn ∫(3x² + 2x) dx.

F(x) = x³ + x²
F′(x) = 3x² + 2x

Svar: ∫(3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

Den andre linjen er kontrollen: deriverer du svaret, får du det du startet med.

Eksempel 2: et polynom med konstant

Finn ∫(4x³ − 6x + 5) dx.

F(x) = x⁴ − 3x² + 5x
F′(x) = 4x³ − 6x + 5

Svar: ∫(4x³ − 6x + 5) dx = x⁴ − 3x² + 5x + C

Konstanten 5 gir 5x, fordi 5x derivert er 5.

Øv selv: 15 oppgaver i ubestemte integraler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å derivere i stedet for å integrere. Når du integrerer, går eksponenten opp med 1.
• Å glemme + C i et ubestemt integral.
• Å glemme å dele på den nye eksponenten.

På eksamen

Integrasjon av polynomer kommer på del 1, ofte som første steg i en større oppgave. Skriv + C i ubestemte integraler, og sjekk svaret ved å derivere.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: antiderivert ubestemt integral integrasjonskonstant

Les også

• Integrasjonsregler og ubestemte integraler
• Integral som grenseverdi av summer – forklart steg for steg
• Bestemt integral og analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Bestemt integral og areal under grafer
• Numerisk integrasjon med programmering – forklart steg for steg
• Ubestemte integraler: oppgaver med fasit
• Integrasjon forklart: hva et integral egentlig er · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.