Bevis ved motsigelse – forklart steg for steg
Noen påstander er vanskelige å bevise rett fram. Da kan du anta det motsatte og vise at det fører til noe umulig. Her lærer du metoden, med to klassiske bevis.
Dette er leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Ideen
Du antar det motsatte av påstanden. Så regner du videre til du kommer fram til noe som er umulig, en motsigelse. Da kan ikke antakelsen være riktig, og påstanden må være sann.
Tre steg
- Anta det motsatte av påstanden.
- Regn deg fram til en motsigelse.
- Konkluder: antakelsen var feil, så påstanden er sann.
Rasjonale tall
Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk a delt på b, der a og b er hele tall og b ikke er 0. Brøken kan alltid forkortes så mye som mulig.
Eksempler
Eksempel 1: √2 er irrasjonalt
Bevis at √2 ikke er et rasjonalt tall.
(√2 · b)² = 2b²
(2c)² = 4c²
4c² delt på 2 = 2c²
Svar: Antakelsen fører til en motsigelse, så √2 er irrasjonalt.
Anta at √2 = a delt på b, forkortet så mye som mulig. Da er a = √2 · b, og a² = 2b². Altså er a² et partall, og da er a et partall. Skriv a = 2c.
Da er 4c² = 2b², altså b² = 2c². Da er også b et partall. Men da kan brøken forkortes med 2. Det er en motsigelse.
Eksempel 2: n² er et partall
Bevis at hvis n² er et partall, så er n et partall.
(2m + 1)² = 4m² + 4m + 1
4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1
Svar: Antakelsen om at n er et oddetall gir at n² er et oddetall. Det er en motsigelse, så n er et partall.
Anta det motsatte: n er et oddetall, n = 2m + 1.
Øv selv: 15 oppgaver i direkte bevis og motsigelse med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å anta det du skal bevise. Du skal anta det motsatte.
- Å stoppe før du har funnet noe som er umulig.
- Å glemme å skrive at brøken er forkortet så mye som mulig. Det er det motsigelsen bygger på.
På eksamen
Bevis ved motsigelse kommer på del 1. Skriv tydelig «anta at», og avslutt med «dette er en motsigelse». Forklar med ord hvorfor resultatet er umulig.
Leksjonen hører til modulen Bevis og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: motsigelse rasjonalt tall irrasjonalt tall
Les også
- Direkte bevis – forklart steg for steg
- Induksjonsbevis steg for steg
- Induksjon med rekker og delelighet – forklart steg for steg
- Direkte bevis og motsigelse: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.