Konvergensområde – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 3 · leksjon 3.5 · eksamen: del 1 og del 2

Når kvotienten i en geometrisk rekke inneholder x, avhenger det av x om rekken konvergerer. Her lærer du å finne konvergensområdet og summen som funksjon av x.

Dette er leksjon 3.5 Konvergensområde i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

x i kvotienten

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten k ligger mellom −1 og 1. Står det x i kvotienten, gjelder det bare for noen x. Disse x-verdiene er konvergensområdet. For hver slik x har rekken en sum, og summen blir en funksjon S(x).

Tre steg

1. Finn kvotienten k uttrykt med x.
2. Løs den doble ulikheten −1 < k < 1.
3. Summen er S(x) = a₁ delt på 1 − k.

Eksempler

Eksempel 1: konvergensområde og sum

For hvilke x konvergerer 1 + (x − 1) + (x − 1)² + …, og hva er summen?

−1 < x − 1 < 1
0 < x < 2

Svar: Rekken konvergerer for 0 < x < 2, og summen er S(x) = 1 delt på 2 − x.

Kvotienten er x − 1. Summen er 1 delt på 1 − (x − 1), og nevneren blir 2 − x.

Eksempel 2: når er summen 4?

Rekken 2 + 2x + 2x² + … konvergerer for −1 < x < 1. For hvilken x er summen 4?

2 delt på 1 − x = 4
1 − x = 1 delt på 2
x = 1 delt på 2

Svar: x = 1 delt på 2. Den ligger i konvergensområdet, så den er gyldig.

Øv selv: 15 oppgaver i geometriske rekker med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bare løse x − 1 < 1 og svare x < 2. Med x = −5 er k = −6, og rekken divergerer.
• Å godta en x utenfor konvergensområdet når du løser S(x) = et tall.
• Å bruke x som kvotient når kvotienten er x − 1.

På eksamen

Konvergensområde kommer på del 1 og del 2. Skriv kvotienten først, løs begge ulikhetene, og sjekk til slutt at svaret ligger i konvergensområdet.

Leksjonen hører til modulen Følger og rekker og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: konvergensområde sumfunksjon

Les også

• Tallfølger og rekursive formler – forklart steg for steg
• Aritmetiske følger og rekker
• Geometriske følger og rekker
• Uendelige geometriske rekker og konvergens
• Rekker i praksis – forklart steg for steg
• Rekursjon med programmering – forklart steg for steg
• Geometriske rekker: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.