Aritmetiske følger og rekker

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

I en aritmetisk følge er det like stor avstand d mellom leddene, som i 3, 7, 11, 15. En aritmetisk rekke er summen av leddene. Begge har enkle formler.

Lær dette i Sophus: 3.2 Aritmetiske rekker i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Formlene

a_n = a₁ + (n − 1) · d · S_n = n · (a₁ + a_n)2

d er differansen mellom to ledd som følger etter hverandre.

Hvorfor sumformelen stemmer

Skriv summen forlengs og baklengs under hverandre. Hvert par blir a₁ + a_n, og det er n par. Da er 2S_n = n(a₁ + a_n). Dette er et vanlig bevis på del 1.

Finn antall ledd

Noen ganger kjenner du summen og skal finne hvor mange ledd det er. Da setter du a_n = a₁ + (n − 1)d inn i sumformelen og får en andregradslikning i n. Bare positive heltall gir mening, så forkast den andre løsningen. Tilsvarende kan du finne d når du kjenner to ledd: forskjellen mellom ledd nummer 3 og ledd nummer 7 er 4d. Skriv alltid opp de første leddene for å kontrollere at formelen din gir riktig følge.

Eksempler

Eksempel 1: ledd og sum

Følgen er 3, 7, 11, … Finn a₂₀ og S₂₀.

a₂₀ = 3 + 19 · 4 = 79 · S₂₀ = 20 · (3 + 79)2 = 820

Eksempel 2: 1 + 2 + … + 100

S₁₀₀ = 100 · (1 + 100)2 = 5 050

Eksempel 3: seter i en sal

Første rad har 18 seter, og hver rad har 2 flere enn raden foran. Det er 15 rader.

a₁₅ = 18 + 14 · 2 = 46 · S₁₅ = 15 · (18 + 46)2 = 480

Salen har 480 seter.

Vanlige feil

Å gange med n i stedet for n − 1: a₂₀ = 3 + 20 · 4 er feil.
Å blande følge og rekke. Følgen er leddene, rekken er summen.
Å bruke aritmetisk formel når leddene ganges med samme tall. Da er rekken geometrisk.

På eksamen

Aritmetiske rekker kommer på del 1 i R2 og S2, ofte som en del av et induksjonsbevis eller en praktisk oppgave. Du kan bli bedt om å finne antall ledd når summen er gitt, som gir en andregradslikning. Fra våren 2027 kan du ikke bruke CAS til å løse den på del 2.

I kurset hører temaet til leksjon 3.2 i modulen Følger og rekker, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er en aritmetisk rekke?

En sum der det er like stor forskjell d mellom leddene, for eksempel 3 + 7 + 11 + 15.

Hva er formelen for summen?

Sn = n(a1 + an)/2.

Hvordan finner jeg ledd nummer n?

an = a1 + (n − 1)d.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.