De 10 vanligste feilene i matte R1
Her er ti typiske feil i R1 som kan koste poeng på eksamen. Vi har valgt dem ut fra kurset, fordi de går igjen i flere leksjoner og oppgavetyper. For hver feil ser du en feil og en riktig utregning side om side, hvorfor feilen skjer, og en liten oppgave du kan øve på.
Legger sammen eksponentene ved potens av potens
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: (a²)³.
Feil
(a²)³ = a opphøyd i 2 + 3
= a⁵
Riktig
(a²)³ = a² · a² · a², altså tre ganger to a-er:
(a²)³ = a opphøyd i 2 · 3
= a⁶
Slik unngår du feilen: Ved potens av potens skal eksponentene ganges, mens du legger dem sammen når du ganger to potenser med samme grunntall.
Lær mer: Leksjon 1.1 Potensregler og brøk som eksponent (med video)
Øv selv: Skriv så enkelt som mulig: (a³)² · a delt på a⁴.
Vis svaret
(a³)² · a delt på a⁴ = a opphøyd i 6 + 1 − 4
= a³
Svar: a³
Tror lg(a + b) = lg a + lg b
Oppgave: Regn ut lg 20 + lg 5 uten kalkulator.
Feil
lg 20 + lg 5 = lg(20 + 5)
= lg 25 ≈ 1,40
Riktig
lg 20 + lg 5 = lg(20 · 5)
= lg 100
= 2
Slik unngår du feilen: Logaritmen gjør ganging om til pluss, så lg a + lg b = lg(a · b), og det finnes ingen regel for lg(a + b).
Lær mer: Leksjon 1.3 Logaritmeregler (med video) · Leksjon 1.6 Logaritmelikninger (med video) · Logaritmer og logaritmeregler
Øv selv: Regn ut lg 8 − lg 0,8 uten kalkulator.
Vis svaret
lg 8 − lg 0,8 = lg(8 delt på 0,8)
= lg 10
= 1
Svar: 1
Ganger tallet foran med grunntallet
Oppgave: Løs likningen 3 · 2ˣ = 48.
Feil
Ganger 3 og 2 først:
3 · 2ˣ = 48
6ˣ = 48
x = lg 48 delt på lg 6 ≈ 2,16
Riktig
Potensen regnes før gangingen, så del på 3 først:
3 · 2ˣ = 48
2ˣ = 16
x = 4
Slik unngår du feilen: I 3 · 2ˣ er det bare 2 som er opphøyd i x, så få potensen alene på én side før du tar logaritmen.
Lær mer: Leksjon 1.4 Eksponentiallikninger (med video) · Leksjon 1.5 Tallet e og den naturlige logaritmen (med video) · Eksponentiallikninger: x i eksponenten
Øv selv: Løs likningen 5 · 3ˣ = 405.
Vis svaret
5 · 3ˣ = 405
3ˣ = 81
x = 4
Svar: x = 4
Beholder en løsning som gir lg av et negativt tall
Oppgave: Løs likningen lg x + lg(x + 3) = 1.
Feil
x(x + 3) = 10
x² + 3x − 10 = 0
x = 2 eller x = −5
x = 2 eller x = −5
Riktig
lg(x(x + 3)) = 1
x(x + 3) = 10
x² + 3x − 10 = 0
x = 2 eller x = −5
x = 2
x = 2, fordi lg x ikke finnes for x = −5
Slik unngår du feilen: lg finnes bare for positive tall, så sett alltid løsningene inn i den opprinnelige likningen og forkast dem som ikke passer.
Lær mer: Leksjon 1.6 Logaritmelikninger (med video) · Leksjon 1.7 Likninger med substitusjon (med video)
Øv selv: Løs likningen lg x + lg(x − 3) = 1.
Vis svaret
lg(x(x − 3)) = 1
x(x − 3) = 10
x² − 3x − 10 = 0
x = 5 eller x = −2
x = 5
Svar: x = 5 (x = −2 forkastes)
Tror grenseverdien ikke finnes fordi du får 0 delt på 0
Oppgave: Finn lim (x → 3) av x² − 9 delt på x − 3.
Feil
Setter inn x = 3 og får 0 både oppe og nede:
3² − 9 = 0
3 − 3 = 0
Grenseverdien finnes ikke.
Riktig
0 delt på 0 betyr at du må forkorte først:
x² − 9 delt på x − 3 = (x + 3)(x − 3) delt på x − 3
= x + 3
lim (x → 3) (x + 3) = 3 + 3 = 6
Grenseverdien er 6.
Slik unngår du feilen: 0 delt på 0 er et tegn på at telleren og nevneren har en felles faktor, så faktoriser og forkort før du setter inn.
Lær mer: Leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? (med video) · Leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering (med video) · Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner
Øv selv: Finn lim (x → 2) av x² − 4 delt på x − 2.
Vis svaret
x² − 4 delt på x − 2 = (x + 2)(x − 2) delt på x − 2
= x + 2
lim (x → 2) (x + 2) = 4
Svar: 4
Glemmer å gange med den deriverte av kjernen
Oppgave: Deriver f(x) = (2x + 1)⁵.
Feil
f′(x) = 5(2x + 1)⁴
Riktig
Kjernen er u = 2x + 1, og u′ = 2:
f′(x) = 5(2x + 1)⁴ · 2
= 10(2x + 1)⁴
Slik unngår du feilen: Når det står noe annet enn bare x inni parentesen, må du gange med den deriverte av kjernen, så finn alltid kjernen først.
Lær mer: Leksjon 4.3 Kjerneregelen (med video) · Leksjon 6.3 Vekstfart i modeller (med video) · Kjerneregelen: derivasjon av sammensatte funksjoner
Øv selv: Deriver g(x) = (3x − 2)⁴.
Vis svaret
g′(x) = 4(3x − 2)³ · 3
= 12(3x − 2)³
Svar: g′(x) = 12(3x − 2)³
Deriverer hver faktor for seg og ganger
Oppgave: Deriver f(x) = x² · eˣ.
Feil
f′(x) = 2x · eˣ
Riktig
Produktregelen: (u · v)′ = u′ · v + u · v′.
f′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ
= (2x + x²)eˣ
Slik unngår du feilen: Den deriverte av et produkt er ikke produktet av de deriverte, så bruk produktregelen og få med begge leddene.
Lær mer: Leksjon 4.4 Produktregelen (med video) · Leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x (med video) · Produktregelen: deriver et produkt
Øv selv: Deriver g(x) = x · ln x.
Vis svaret
g′(x) = 1 · ln x + x · 1 delt på x
= ln x + 1
Svar: g′(x) = ln x + 1
Bruker f(a) som stigningstall for tangenten
Oppgave: Finn tangenten til f(x) = x³ i punktet der x = 1.
Feil
Bruker f(1) = 1 som stigningstall:
f(1) = 1³ = 1
t(x) = f(1)(x − 1) + f(1)
t(x) = x
Riktig
Stigningstallet er f′(1):
f′(x) = 3x²
f′(1) = 3 · 1² = 3
t(x) = f′(1)(x − 1) + f(1)
t(x) = 3x − 2
Slik unngår du feilen: f(1) er y-verdien i punktet, og stigningstallet er den deriverte i punktet, så tangenten er y = f′(a)(x − a) + f(a).
Lær mer: Leksjon 3.4 Tangenter (med video)
Øv selv: Finn tangenten til f(x) = x² − 2x i punktet der x = 3.
Vis svaret
f(3) = 3² − 2 · 3 = 3
f′(3) = 2 · 3 − 2 = 4
t(x) = f′(3)(x − 3) + f(3)
t(x) = 4x − 9
Svar: y = 4x − 9
Setter f′(x) = 0 for å finne vendepunktet
Oppgave: Finn vendepunktet til f(x) = x³ − 3x².
Feil
f′(x) = 3x² − 6x
3x² − 6x = 0
x = 0 eller x = 2
Vendepunkt i x = 0 og x = 2
Riktig
Vendepunktet er der den andrederiverte skifter fortegn:
f″(x) = 6x − 6
6x − 6 = 0
x = 1
f(1) = 1³ − 3 · 1² = −2
Vendepunktet er (1, −2), fordi f″ skifter fortegn i x = 1.
Slik unngår du feilen: f′(x) = 0 gir topp- og bunnpunkter, mens vendepunktet er der grafen skifter krumning, og det finner du med f″(x) og en fortegnslinje.
Lær mer: Leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter (med video) · Leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter (med video) · Vendepunkt og den andrederiverte
Øv selv: Finn vendepunktet til g(x) = x³ + 3x² − 1.
Vis svaret
g′(x) = 3x² + 6x
g″(x) = 6x + 6
6x + 6 = 0
x = −1
g(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 1 = 1
Svar: Vendepunktet er (−1, 1).
Ganger på kryss i skalarproduktet
Oppgave: Regn ut skalarproduktet av u = [2, 1] og v = [3, −4].
Feil
2 · (−4) + 1 · 3 = −5
Riktig
Gang x-koordinatene og y-koordinatene hver for seg, og legg sammen:
2 · 3 + 1 · (−4) = 2
Slik unngår du feilen: Skalarproduktet er x · x + y · y, og svaret er et tall, ikke en vektor, så sett gjerne vektorene under hverandre før du ganger.
Lær mer: Leksjon 7.3 Skalarprodukt (med video) · Leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer (med video) · Skalarprodukt av vektorer
Øv selv: Regn ut skalarproduktet av [3, −2] og [1, 5].
Vis svaret
3 · 1 + (−2) · 5 = −7
Svar: −7
Les også
- Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Formelark for R1
- Begrepene i R1 forklart
- Alle modulene i R1
Utregningene på denne siden er kontrollert. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.