Kjerneregelen: derivasjon av sammensatte funksjoner

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Kjerneregelen brukes når en funksjon står inni en annen, som (3x² + 1)⁴ eller e^x². Du deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av det som står inni, kjernen.

Lær dette i Sophus: 4.3 Kjerneregelen i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Regelen

Er u = u(x) kjernen, er

(g(u))′ = g′(u) · u′

Den ytre deriverte g′(u) ganger den indre deriverte u′.

Slik finner du kjernen

Kjernen er det som står «inni»: i en parentes som opphøyes, i eksponenten, inni ln eller under et rottegn. Skriv u = … på en egen linje og regn ut u′ først.

Eksempler

Eksempel 1: potens av en parentes

Deriver f(x) = (3x² + 1)⁴. Kjernen er u = 3x² + 1, og u′ = 6x.

f′(x) = 4(3x² + 1)³ · 6x = 24x(3x² + 1)³

Eksempel 2: e i en potens

Deriver g(x) = e^x². Kjernen er u = x², og u′ = 2x.

g′(x) = e^x² · 2x = 2x e^x²

Eksempel 3: ln

Deriver h(x) = ln(x² + 1).

h′(x) = 1x² + 1 · 2x = 2xx² + 1

Eksempel 4: kvadratrot

Deriver k(x) = √(4x + 1). Skriv roten som potens: (4x + 1)^0,5.

k′(x) = 0,5(4x + 1)^−0,5 · 4 = 2√(4x + 1)

Vanlige feil

Å glemme å gange med den indre deriverte.
Å derivere kjernen inni den ytre funksjonen: (3x² + 1)⁴ blir ikke 4(6x)³.
Å bruke kjerneregelen der kjernen bare er x. Da er u′ = 1, og regelen gir ingenting nytt.

På eksamen

Kjerneregelen kommer på del 1 i R1 og S2 hvert år, ofte i kombinasjon med produktregelen eller e^x og ln x. På del 2 trengs den i vekstmodeller og fart og akselerasjon. Fra våren 2027 deriverer du alt for hånd, så skriv u og u′ på egne linjer.

I kurset hører temaet til leksjon 4.3 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er kjerneregelen?

Den deriverte av g(u(x)) er g′(u) · u′: ytre derivert ganger indre derivert.

Hvordan finner jeg kjernen?

Kjernen er uttrykket som står inni en annen funksjon: i en parentes som opphøyes, i eksponenten, inni ln eller under rottegnet.

Hva er den deriverte av e^(2x)?

2e^(2x). Kjernen er 2x, med derivert 2.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.