Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

En grenseverdi sier hva funksjonsverdien nærmer seg når x nærmer seg et tall, selv om funksjonen ikke er definert akkurat der. Grenseverdier er grunnlaget for derivasjon og asymptoter.

Lær dette i Sophus: 2.2 Grenseverdier med faktorisering i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Hva lim betyr

lim_x→a f(x) = L

betyr at f(x) kommer så nær L du vil når x er nær nok a. Det handler om hva som skjer nær a, ikke i a.

Når du får 00

Setter du inn og får 00, er ikke svaret «finnes ikke». Det betyr at teller og nevner har en felles faktor. Faktoriser, forkort, og sett inn igjen.

Når x går mot uendelig

For en brøk med polynomer deler du teller og nevner på den høyeste potensen av x i nevneren. Ledd som 1x og 1x² går mot 0.

Eksempler

Eksempel 1: faktoriser og forkort

Finn lim_x→2 x² − 4x − 2. Innsetting gir 00.

(x + 2)(x − 2)x − 2 = x + 2 → 2 + 2 = 4

Eksempel 2: andregradsuttrykk

Finn lim_x→3 x² − x − 6x − 3.

(x − 3)(x + 2)x − 3 = x + 2 → 3 + 2 = 5

Eksempel 3: mot uendelig

Finn lim_x→∞ 3x² + 1x² − 2x. Del på x²:

3 + 1x²1 − 2x → 3 + 01 − 0 = 3

Vanlige feil

Å si at grenseverdien ikke finnes fordi innsetting gir 00.
Å sette inn x = a før du har forkortet bort faktoren som gir null.
Å tro at grenseverdien alltid er lik funksjonsverdien.
Å finne grenseverdien mot uendelig ved å sette inn x = 0.

På eksamen

Grenseverdier kommer på del 1 i R1, oftest som 00-uttrykk som skal faktoriseres, eller som grenseverdier mot uendelig for å finne asymptoter. Skriv lim foran hvert steg til du setter inn, så føringen blir riktig. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, så grenseverdier i modeller regnes også for hånd.

I kurset hører temaet til leksjon 2.2 i modulen Grenseverdier og kontinuitet, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er en grenseverdi?

Verdien f(x) nærmer seg når x nærmer seg et tall a. Skrives lim (x→a) f(x).

Hva gjør jeg når jeg får 0/0?

Faktoriser teller og nevner, forkort den felles faktoren, og sett inn x-verdien igjen.

Hvordan finner jeg grenseverdien når x går mot uendelig?

Del teller og nevner på den høyeste potensen av x i nevneren. Ledd med x i nevneren går mot 0.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.