Temaer › Matematikk R1

Eksponentiallikninger: x i eksponenten

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

I en eksponentiallikning står x i eksponenten, som i 2^x = 16 eller 1,05^x = 2. Du løser dem ved å skrive begge sider med samme grunntall, eller ved å ta logaritmen.

Lær dette i Sophus: 1.4 Eksponentiallikninger i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Først: få potensen alene

Del eller trekk fra slik at potensen står alene på én side. 3 · 2^x = 48 blir 2^x = 16. Ikke gang 3 og 2 sammen.

Samme grunntall

Kan begge sider skrives med samme grunntall, setter du eksponentene like: 2^x = 16 = 2⁴ gir x = 4.

Med logaritmer

Ellers tar du lg (eller ln) på begge sider og bruker regelen lg a^x = x · lg a:

a^x = b  gir  x = lg blg a  ·  e^x = b  gir  x = ln b

Eksempler

Eksempel 1: samme grunntall

Løs 3 · 2^x = 48.

2^x = 16 = 2⁴  ·  x = 4

Eksempel 2: med lg

Løs 5^x = 20.

x · lg 5 = lg 20  ·  x = lg 20lg 5 ≈ 1,861

Eksempel 3: doblingstid

Et beløp vokser med 5 % per år. Når er det doblet? Løs 1,05^x = 2.

x = lg 2lg 1,05 ≈ 14,21

Beløpet er doblet etter litt over 14 år.

Eksempel 4: substitusjon

Løs 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0. Siden 4^x = (2^x)², setter vi u = 2^x:

u² − 3u − 4 = 0  ·  (u − 4)(u + 1) = 0  ·  u = 4  eller  u = −1

2^x = −1 har ingen løsning, og 2^x = 4 gir x = 2.

Vanlige feil

• Å gange tallet foran med grunntallet: 3 · 2^x er ikke 6^x.
• Å ta lg av bare den ene siden av likningen.
• Å skrive lg 20lg 5 = lg 4. Brøken kan ikke forkortes slik.
• Å godta løsningen 2^x = −1. En potens med positivt grunntall er alltid positiv.

På eksamen

Eksponentiallikninger kommer på del 1 i R1 med tall som går opp, og på del 2 i vekstmodeller der du skal finne når noe passerer en grense. Fra våren 2027 kan du ikke bruke CAS på del 2, så du løser med logaritmer for hånd og regner ut svaret på kalkulatoren. Skriv svaret både eksakt og som desimaltall.

I kurset hører temaet til leksjon 1.4 i modulen Potenser og logaritmer, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Logaritmer og logaritmeregler
• Derivasjon av eˣ, aˣ og ln x
• Eksponentiell vekst og eksponentielle modeller · Matematikk 2P
• Formelark for R1
• Eksamen i R1
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.