Temaer › Matematikk R1

Produktregelen: deriver et produkt

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Når to funksjoner ganges sammen, kan du ikke bare derivere hver for seg og gange. Produktregelen sier hvordan du deriverer et produkt riktig.

Lær dette i Sophus: 4.4 Produktregelen i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Regelen

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Deriver den første og la den andre stå, pluss la den første stå og deriver den andre.

Faktoriser svaret

Sett felles faktorer utenfor til slutt, for eksempel e^x. Da er det lett å finne nullpunktene til den deriverte og tegne fortegnslinje.

Eksempler

Eksempel 1: x² · eˣ

u = x² og v = e^x, så u′ = 2x og v′ = e^x.

f′(x) = 2x · e^x + x² · e^x = e^x(x² + 2x)

Eksempel 2: x · ln x

g′(x) = 1 · ln x + x · 1x = ln x + 1

Eksempel 3: finn toppunktet til x · e^−x

h(x) = x e^−x. Med kjerneregelen er (e^−x)′ = −e^−x.

h′(x) = e^−x − x e^−x = (1 − x)e^−x

e^−x er alltid positiv, så h′ skifter fortegn bare i x = 1, fra + til −. Toppunktet er (1, e⁻¹) ≈ (1; 0,368).

Vanlige feil

• Å derivere hver faktor og gange: (x²e^x)′ er ikke 2x · e^x.
• Å glemme kjerneregelen inni produktet, som i e^−x.
• Å la være å faktorisere svaret, så fortegnslinja blir vanskelig.

På eksamen

Produktregelen kommer på del 1 i R1 og S2, nesten alltid i en drøftingsoppgave med e^x eller ln x: deriver, finn nullpunktene til f′ og bestem topp- og bunnpunkt. Fra våren 2027 gjøres også del 2 uten datamaskin, så drøftingen må gjøres for hånd der også.

I kurset hører temaet til leksjon 4.4 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Brøkregelen: deriver en brøk
• Kjerneregelen: derivasjon av sammensatte funksjoner
• Derivasjon av eˣ, aˣ og ln x
• Vendepunkt og den andrederiverte
• Formelark for R1
• Eksamen i R1
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.