Temaer › Matematikk R1

Vendepunkt og den andrederiverte

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Den andrederiverte f″(x) sier hvordan grafen krummer. Der krumningen skifter, er grafen i et vendepunkt. Der er stigningen størst eller minst.

Lær dette i Sophus: 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Krumning

f″(x) > 0: grafen vender den hule siden opp. f″(x) < 0: grafen vender den hule siden ned. Et vendepunkt er der f″ skifter fortegn.

Metoden

1. Deriver to ganger.
2. Løs f″(x) = 0, og tegn fortegnslinje for f″.
3. Skifter f″ fortegn, er det et vendepunkt. Regn ut y-verdien med f(x).

At f″(x) = 0 er ikke nok alene. For f(x) = x⁴ er f″(0) = 0, men f″ = 12x² skifter ikke fortegn.

Eksempler

Eksempel 1: et tredjegradspolynom

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.

f′(x) = 3x² − 12x + 9  ·  f″(x) = 6x − 12 = 0  gir  x = 2

f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3

f″ skifter fra − til + i x = 2, så (2, 3) er et vendepunkt.

Eksempel 2: ikke vendepunkt

f(x) = x⁴ har f″(x) = 12x², som er null i x = 0. Men 12x² ≥ 0 på begge sider, så grafen vender den hule siden opp hele tiden. (0, 0) er et bunnpunkt, ikke et vendepunkt.

Eksempel 3: med eˣ

f(x) = x e^x. Med produktregelen:

f′(x) = (x + 1)e^x  ·  f″(x) = (x + 2)e^x

f″ skifter fortegn i x = −2. f(−2) = −2e⁻² ≈ −0,271, så vendepunktet er (−2; −0,271).

Vanlige feil

• Å regne ut y-verdien med f″(x) eller f′(x) i stedet for f(x).
• Å kalle alle nullpunkter for f″ vendepunkter uten å sjekke fortegnsskiftet.
• Å blande opp og ned: f″ > 0 betyr hul side opp (som en skål).

På eksamen

Vendepunkter er en fast del av funksjonsdrøftingen på del 1 i R1 og S2. I modeller på del 2 betyr vendepunktet ofte der veksten er raskest, for eksempel i logistisk vekst. Fra våren 2027 må du finne punktet ved regning, ikke ved å lese av en graf i et digitalt verktøy.

I kurset hører temaet til leksjon 5.3 i modulen Funksjonsdrøfting, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte · Matematikk 1T
• Produktregelen: deriver et produkt
• Logistisk vekst og bæreevne · Matematikk S2
• Derivasjon av eˣ, aˣ og ln x
• Formelark for R1
• Eksamen i R1
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.