Skalarprodukt av vektorer
Skalarproduktet av to vektorer er et tall, ikke en vektor. Det brukes til å finne vinkelen mellom vektorer og til å sjekke om de står vinkelrett på hverandre.
Lær dette i Sophus: 7.3 Skalarprodukt i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen
Med koordinater
[a1, a2] · [b1, b2] = a1b1 + a2b2
Gang x-koordinatene og y-koordinatene hver for seg, og legg sammen.
Med lengder og vinkel
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos v
Kombinerer du de to formlene, finner du vinkelen v mellom vektorene.
Vinkelrett
Er skalarproduktet 0, er cos v = 0, og vektorene står vinkelrett på hverandre (de er ortogonale).
Hvorfor formlene henger sammen
At a1b1 + a2b2 er lik |a⃗| · |b⃗| · cos v, kan vises med cosinussetningen i trekanten som vektorene a⃗, b⃗ og a⃗ − b⃗ danner. Skalarproduktet av en vektor med seg selv er lengden i andre: a⃗ · a⃗ = |a⃗|2. Det er nyttig når du skal regne ut lengder i uttrykk med vektorer, og det brukes mye i bevisoppgaver. Skalarproduktet er også positivt når vinkelen er spiss og negativt når den er stump.
Eksempler
Eksempel 1: regn ut skalarproduktet
[3, 4] · [2, −1] = 3 · 2 + 4 · (−1) = 6 − 4 = 2
Eksempel 2: vinkelen mellom vektorene
|[3, 4]| = 5 og |[2, −1]| = √5.
cos v = 25 · √5 ≈ 0,1789 · v ≈ 79,7°
Eksempel 3: finn t så vektorene står vinkelrett
For hvilken t står [2, t] vinkelrett på [3, −6]?
2 · 3 + t · (−6) = 0 · 6 − 6t = 0 · t = 1
Vanlige feil
- Å svare med en vektor, som [6, −4]. Skalarproduktet er ett tall.
- Å gange på kryss: a1b2 + a2b1.
- Å glemme å dele på lengdene når du finner vinkelen.
På eksamen
Skalarprodukt kommer på del 1 i R1, med vinkler, ortogonale vektorer og parameterframstillinger. I R2 utvides det til tre dimensjoner med samme regler. Fra våren 2027 regner du del 2 med en enkel vitenskapelig kalkulator, som har cos−1 for vinkelen.
I kurset hører temaet til leksjon 7.3 i modulen Vektorer, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Spørsmål og svar
Hva er skalarprodukt?
Et tall du får fra to vektorer: [a1, a2] · [b1, b2] = a1b1 + a2b2, som også er lik |a||b| cos v.
Hvordan finner jeg vinkelen mellom to vektorer?
cos v = (a · b) / (|a| · |b|), og så v med cos⁻¹ på kalkulatoren.
Hva betyr det at skalarproduktet er 0?
At vektorene står vinkelrett på hverandre (forutsatt at ingen av dem er nullvektoren).
Les også
- Parameterframstilling for en linje
- Vektorproduktet (kryssprodukt) i rommet · Matematikk R2
- Cosinussetningen: finn sider og vinkler · Matematikk 1T
- Formelark for R1
- Eksamen i R1
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.