Likninger med substitusjon – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 1 · leksjon 1.7 · eksamen: del 1 og del 2

Noen likninger ser vanskelige ut, men er andregradslikninger i forkledning. Her lærer du å gi uttrykket som går igjen et nytt navn, løse for det, og regne tilbake til x.

Dette er leksjon 1.7 Likninger med substitusjon i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Metoden i fire steg

1. Finn uttrykket som går igjen i likningen, som lg x eller eˣ.
2. Gi det et nytt navn, for eksempel u.
3. Løs likningen for u. Ofte er det en andregradslikning.
4. Regn tilbake fra u til x. Det er x oppgaven spør etter.

e opphøyd i ^2x er (eˣ)²

Etter potensreglene er e opphøyd i ^2x det samme som eˣ i andre. Derfor kan en likning med både e opphøyd i ^2x og eˣ bli en andregradslikning når du setter u = eˣ.

Husk at eˣ alltid er positiv. Får du en negativ verdi for u = eˣ, gir den ingen løsning.

Eksempler

Eksempel 1: med lg x

Løs likningen (lg x)² − lg x − 2 = 0. Sett u = lg x.

u² − u − 2 = 0
(u − 2)(u + 1) = 0

Svar: x = 100 eller x = 1 delt på 10

u = 2 betyr lg x = 2, så x = 10² = 100. u = −1 betyr lg x = −1, så x = 10 opphøyd i ⁻¹ = 1 delt på 10. Begge er positive, så begge er lov.

Eksempel 2: med eˣ

Løs likningen e opphøyd i ^2x − 3eˣ + 2 = 0. Sett u = eˣ.

u² − 3u + 2 = 0
(u − 1)(u − 2) = 0

Svar: x = 0 eller x = ln 2

eˣ = 1 gir x = 0, og eˣ = 2 gir x = ln 2.

Øv selv: 15 oppgaver i likninger med logaritmer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å stoppe ved verdiene for u og glemme å regne tilbake til x.
• Å forkaste lg x = −1 fordi tallet er negativt. Det er x som må være positiv, og x = 1 delt på 10 er lov.
• Å beholde eˣ = −1. Den har ingen løsning, fordi eˣ alltid er positiv.

På eksamen

Substitusjon kommer på del 1, ofte uten at oppgaven sier hva du skal sette lik u. Skriv «u = lg x» øverst, så sensor ser hva du gjør, og så du husker å regne tilbake. Faktoriser for hånd.

Leksjonen hører til modulen Potenser og logaritmer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: substitusjon andregradslikning

Les også

• Potensregler og brøk som eksponent – forklart steg for steg
• Hva er en logaritme? – forklart steg for steg
• Logaritmer og logaritmeregler
• Eksponentiallikninger: x i eksponenten
• Tallet e og den naturlige logaritmen – forklart steg for steg
• Logaritmelikninger – forklart steg for steg
• Likninger med logaritmer: oppgaver med fasit
• Logaritmer forklart: hva lg og ln betyr · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.