Tallet e og den naturlige logaritmen – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 1 · leksjon 1.5 · eksamen: del 1 og del 2

Tallet e er omtrent 2,718, og ln x er logaritmen med e som grunntall. Her lærer du reglene for e og ln, og hvordan du løser likninger der x står i eksponenten til e.

Dette er leksjon 1.5 Tallet e og den naturlige logaritmen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hvor kommer e fra?

Tenk deg at 1 krone får 100 % rente i året. Får du renten én gang, har du 2 kroner etter et år. Får du den i to deler, får du 1,5² = 2,25 kroner. Jo flere deler, jo nærmere kommer du ett bestemt tall. Det tallet er e.

1,5² = 2,25
(1 + 1 delt på 1000) opphøyd i ^1 000 ≈ 2,717
e ≈ 2,718

Reglene for ln

1. ln x er tallet e må opphøyes i for å bli x.
2. ln opphever e opphøyd i noe: ln(eˣ) = x.
3. e opphøyd i ln x er x.
4. ln 1 = 0 og ln e = 1.

ln(e³) = 3
e opphøyd i ^{ln 5} = 5
ln 1 = 0
ln e = 1

Eksempler

Eksempel 1: en likning med e

Løs likningen e opphøyd i ^2x = 5.

e opphøyd i ^2x = 5
2x = ln 5
x = ln 5 delt på 2
x ≈ 0,80

Svar: x = ln 5 delt på 2 ≈ 0,80

Du tar ln på begge sider. Da opphever ln tallet e, og 2x står igjen. Så deler du på 2.

Eksempel 2: e med en kjerne

Løs likningen 3e opphøyd i ^{x − 1} = 3.

3e opphøyd i ^{x − 1} = 3
e opphøyd i ^{x − 1} = 1
x − 1 = 0
x = 1

Svar: x = 1

Del på 3 først, så e-potensen står alene. Siden e⁰ = 1, må eksponenten være 0.

Øv selv: 15 oppgaver i likninger med logaritmer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å ta lg på begge sider når grunntallet er e. lg har grunntall 10 og opphever ikke e. Bruk ln.
• Å dele bare den ene siden på 2.
• Å skrive at ln(e opphøyd i ^2x) er 2. Det er 2x.

På eksamen

Likninger med e kommer på del 1, og da står svaret ofte eksakt, som ln 5 delt på 2. På del 2 skal du ofte gi et desimaltall. Fra våren 2027 har du en enkel vitenskapelig kalkulator med ln-tast, men ikke datamaskin. Skriv det eksakte svaret først og så tilnærmingen.

Leksjonen hører til modulen Potenser og logaritmer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: tallet e ln naturlig logaritme

Les også

• Potensregler og brøk som eksponent – forklart steg for steg
• Hva er en logaritme? – forklart steg for steg
• Logaritmer og logaritmeregler
• Eksponentiallikninger: x i eksponenten
• Logaritmelikninger – forklart steg for steg
• Likninger med substitusjon – forklart steg for steg
• Likninger med logaritmer: oppgaver med fasit
• Logaritmer forklart: hva lg og ln betyr · blogg
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.