Hva er en grenseverdi? – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 2 · leksjon 2.1 · eksamen: del 1 og del 2

En grenseverdi er tallet en funksjon nærmer seg når x kommer nærmere og nærmere et tall. Her lærer du hva lim betyr, og hvorfor grenseverdien kan finnes selv om funksjonsverdien ikke gjør det.

Dette er leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hva lim betyr

lim (x → a) f(x) = B betyr at f(x) kommer så nær B du vil når x kommer nær a, fra begge sider. Grenseverdien handler om hva som skjer nær a, ikke i a.

1. Prøv å sette inn x = a først. Får du et vanlig tall, er det grenseverdien.
2. Får du 0 delt på 0, er du ikke ferdig. Forkort brøken, og sett inn på nytt.
3. Grenseverdien kan finnes selv om f(a) ikke finnes.

Med en tabell

Se på f(x) = x² − 4 delt på x − 2. I x = 2 blir både teller og nevner 0, så f(2) finnes ikke. Sett inn tall nær 2:

1,9² − 4 delt på 1,9 − 2 = 3,9
1,99² − 4 delt på 1,99 − 2 = 3,99
2,01² − 4 delt på 2,01 − 2 = 4,01

Fra begge sider kommer verdiene nær 4. Grenseverdien er 4. På grafen er det en rett linje med et hull i punktet (2, 4).

Eksempler

Eksempel 1: forkort brøken

Finn lim (x → 2) av x² − 4 delt på x − 2.

x² − 4 delt på x − 2 = (x − 2)(x + 2) delt på x − 2
(x − 2)(x + 2) delt på x − 2 = x + 2
2 + 2 = 4

Svar: Grenseverdien er 4.

Du kan stryke x − 2, fordi x er nær 2, men aldri lik 2. Telleren er tredje kvadratsetning.

Eksempel 2: en til

Finn lim (x → 1) av x² − 1 delt på x − 1.

x² − 1 delt på x − 1 = x + 1
1 + 1 = 2

Svar: Grenseverdien er 2.

Øv selv: 15 oppgaver i grenseverdier med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å sette inn x = 2, få 0 delt på 0, og skrive at grenseverdien ikke finnes. 0 delt på 0 betyr at du må forkorte.
• Å tro at grenseverdien alltid er lik funksjonsverdien. Her finnes ikke f(2), men grenseverdien er 4.
• Å stryke ledd i stedet for faktorer. Du kan bare forkorte når teller og nevner er skrevet som produkter.

På eksamen

Grenseverdier kommer på del 1. Skriv lim-tegnet på hver linje til du setter inn, og vis faktoriseringen. Kan du kvadratsetningene og faktorisering av andregradsuttrykk, klarer du de fleste oppgavene.

Leksjonen hører til modulen Grenseverdier og kontinuitet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: grenseverdi lim

Les også

• Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner
• Grenseverdier når x går mot uendelig – forklart steg for steg
• Kontinuerlige funksjoner og delt funksjonsuttrykk
• Diskontinuerlige funksjoner i praksis – forklart steg for steg
• Grenseverdier: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.