De 10 vanligste feilene i matte S2
Her er ti typiske feil i S2 som kan koste poeng på eksamen. Vi har valgt dem ut fra kurset, fordi de går igjen i flere leksjoner og oppgavetyper. For hver feil ser du en feil og en riktig utregning side om side, hvorfor feilen skjer, og en liten oppgave du kan øve på.
Teller feil antall ledd i en aritmetisk rekke
Oppgave: Finn summen 5 + 8 + 11 + … + 50.
Feil
Deler avstanden på differansen og tror det er antall ledd:
50 − 5 delt på 3 = 15
15(5 + 50) delt på 2 = 412,5
412,5
Riktig
Det er ett ledd mer enn antall steg på 3:
50 − 5 delt på 3 + 1 = 16
16(5 + 50) delt på 2 = 440
440
Slik unngår du feilen: Fra 5 til 50 er det 15 steg, men 16 ledd, akkurat som det er 4 tall fra 1 til 4 men bare 3 steg, og en sum av hele tall kan ikke ende på ,5.
Lær mer: Leksjon 1.2 Aritmetiske rekker (med video) · Leksjon 1.1 Tallfølger og rekursive formler (med video)
Øv selv: Finn summen 2 + 6 + 10 + … + 42.
Vis svaret
42 − 2 delt på 4 + 1 = 11
11(2 + 42) delt på 2 = 242
Svar: 242
Bruker feil eksponent i sumformelen
Oppgave: Finn summen av de 6 første leddene i 3 + 6 + 12 + …
Feil
3(2⁵ − 1) delt på 2 − 1 = 93
93
Riktig
a₁ = 3, k = 2 og n = 6, så eksponenten er 6:
3(2⁶ − 1) delt på 2 − 1 = 189
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189
189
Slik unngår du feilen: Sumformelen har kⁿ, der n er antall ledd, mens kⁿ⁻¹ hører til formelen for ett enkelt ledd, så skriv opp n før du setter inn.
Lær mer: Leksjon 1.3 Geometriske rekker (med video)
Øv selv: Finn summen av de 5 første leddene i 1 000 + 1 100 + 1 210 + …
Vis svaret
1 000(1,1⁵ − 1) delt på 1,1 − 1 = 6 105,1
Svar: 6 105,10
Glemmer at hvert innskudd får rente i ulikt antall år
Oppgave: Du setter inn 10 000 kr hvert år i 5 år med 4 % rente. Hvor mye har du rett etter det siste innskuddet?
Feil
10 000 · 5 · 1,04 = 52 000
52 000 kr
Riktig
Innskuddene er en geometrisk rekke med k = 1,04 og 5 ledd:
10 000(1,04⁵ − 1) delt på 1,04 − 1 ≈ 54 163,23
54 163,23 kr
Slik unngår du feilen: Det første innskuddet står i 4 år og det siste i 0 år, så summen blir en geometrisk rekke og ikke ett beløp ganget med 1,04.
Lær mer: Leksjon 2.1 Sparing med faste innskudd (med video) · Sparing med faste innskudd: sluttverdi med rekker
Øv selv: Du setter inn 5 000 kr hvert år i 3 år med 5 % rente. Hvor mye har du rett etter det siste innskuddet?
Vis svaret
5 000(1,05³ − 1) delt på 1,05 − 1 = 15 762,5
Svar: 15 762,50 kr
Glemmer kjerneregelen på e opphøyd i 2x
Oppgave: Deriver f(x) = x · e opphøyd i 2x.
Feil
f'(x) = 1 · e opphøyd i 2x + x · e opphøyd i 2x
Riktig
Produktregelen, og (e opphøyd i 2x)' = 2e opphøyd i 2x:
f'(x) = 1 · e opphøyd i 2x + x · 2e opphøyd i 2x
= (1 + 2x)e opphøyd i 2x
Slik unngår du feilen: Eksponenten 2x er en kjerne, så den deriverte av e opphøyd i 2x må ganges med 2, i tillegg til at du bruker produktregelen.
Lær mer: Leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen (med video) · Leksjon 3.2 Kjerneregelen (med video)
Øv selv: Deriver g(x) = 5e opphøyd i −3x.
Vis svaret
g'(x) = 5e opphøyd i −3x · (−3)
= −15e opphøyd i −3x
Svar: g'(x) = −15e opphøyd i −3x
Setter I(x) = K(x) for å finne størst overskudd
Oppgave: I(x) = 500x og K(x) = 0,5x² + 100x + 20 000. Hvor mange enheter gir størst overskudd?
Feil
Setter inntekt lik kostnad:
I(x) = K(x)
500x = 0,5x² + 100x + 20 000
0,5x² − 400x + 20 000 = 0
x ≈ 53,6 eller x ≈ 746,4
Det er der overskuddet er 0.
Riktig
Overskuddet er størst der grenseinntekten er lik grensekostnaden:
I'(x) = K'(x)
500 = x + 100
x = 400
400 enheter
Slik unngår du feilen: I(x) = K(x) gir der overskuddet er 0, mens størst overskudd er der O'(x) = 0, altså der I'(x) = K'(x).
Lær mer: Leksjon 4.2 Grenseinntekt og størst overskudd (med video) · Leksjon 4.1 Grensekostnad (med video) · Grensekostnad, grenseinntekt og størst overskudd
Øv selv: I(x) = 300x og K(x) = x² + 60x + 5 000. Hvor mange enheter gir størst overskudd?
Vis svaret
I'(x) = K'(x)
300 = 2x + 60
x = 120
Svar: 120 enheter
Regner F(a) − F(b) i et bestemt integral
Oppgave: Regn ut ∫₁³ (2x + 1) dx.
Feil
∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³
(1² + 1) − (3² + 3) = −10
Riktig
Øvre grense minus nedre grense:
∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³
(3² + 3) − (1² + 1) = 10
Slik unngår du feilen: Det bestemte integralet er F(b) − F(a), med den øvre grensen først, og en positiv funksjon må gi et positivt integral.
Lær mer: Leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem (med video) · Leksjon 5.5 Areal mellom grafer (med video)
Øv selv: Regn ut ∫₀² 3x² dx.
Vis svaret
∫₀² 3x² dx = [x³]₀²
2³ − 0³ = 8
Svar: 8
Deler på variansen i stedet for standardavviket
Oppgave: X er normalfordelt med μ = 100 og varians σ² = 225. Finn P(X > 130).
Feil
Deler på 225:
130 − 100 delt på 225 ≈ 0,13
P(X > 130) = 1 − Φ(0,13) = 1 − 0,5517 = 0,4483
0,4483
Riktig
Standardavviket er σ = √225 = 15:
√225 = 15
130 − 100 delt på 15 = 2
P(X > 130) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0228
0,0228
Slik unngår du feilen: z-verdien måler avstanden i antall standardavvik, så finn σ = √(σ²) først hvis oppgaven gir variansen.
Lær mer: Leksjon 8.2 Sannsynligheter i normalfordelingen (med video) · Leksjon 8.1 Normalfordelingen (med video) · Normalfordelingen: sannsynligheter med Φ-tabell
Øv selv: X er normalfordelt med μ = 50 og varians σ² = 16. Finn P(X < 56).
Vis svaret
√16 = 4
56 − 50 delt på 4 = 1,5
P(X < 56) = Φ(1,5) = 0,9332
Svar: 0,9332
Deler σ på n i stedet for √n
Oppgave: Målingene har standardavvik σ = 10. Hva er standardavviket til gjennomsnittet av 25 målinger?
Feil
10 delt på 25 = 0,4
0,4
Riktig
10 delt på √25 = 2
2
Slik unngår du feilen: Variansen til gjennomsnittet er σ² delt på n, så standardavviket blir σ delt på √n, og ikke σ delt på n.
Lær mer: Leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen (med video) · Leksjon 9.3 Test av gjennomsnitt (med video) · Sentralgrensesetningen forklart
Øv selv: Målingene har standardavvik σ = 18. Hva er standardavviket til gjennomsnittet av 36 målinger?
Vis svaret
18 delt på √36 = 3
Svar: 3
Glemmer (1 − p) i standardavviket
Oppgave: X er binomisk fordelt med n = 100 og p = 0,2. Finn standardavviket til X.
Feil
100 · 0,2 = 20
√20 ≈ 4,47
4,47
Riktig
Variansen er np(1 − p):
100 · 0,2 · 0,8 = 16
√16 = 4
4
Slik unngår du feilen: np er forventningsverdien, mens variansen er np(1 − p), og standardavviket er kvadratroten av variansen.
Lær mer: Leksjon 7.3 Binomisk fordeling: forventning og standardavvik (med video) · Leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling (med video) · Binomisk fordeling: sannsynlighet, forventning og standardavvik
Øv selv: X er binomisk fordelt med n = 50 og p = 0,1. Finn standardavviket til X.
Vis svaret
50 · 0,1 · 0,9 = 4,5
√4,5 ≈ 2,12
Svar: Omtrent 2,12
Les også
- Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Formelark for S2
- Begrepene i S2 forklart
- Alle modulene i S2
Utregningene på denne siden er kontrollert. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.