Normalfordelingen: sannsynligheter med Φ-tabell

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 2

Normalfordelingen er den klokkeformede fordelingen som beskriver høyder, måleresultater og gjennomsnitt. Fra våren 2027 regner du sannsynlighetene med en tabell over Φ(z), ikke med et digitalt verktøy.

Lær dette i Sophus: 8.2 Sannsynligheter i normalfordelingen i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

Standardiser

Er X normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ, gjør du X om til den standard normalfordelte Z:

Z = X − μσ · P(X ≤ x) = Φ(x − μσ)

Φ(z) er arealet under klokkekurven til venstre for z, og står i tabellen.

Tre regler for tabellen

P(X > x) = 1 − Φ(z).
P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
Φ(−z) = 1 − Φ(z), hvis tabellen bare har positive z.

Tommelfingerregel

Omtrent 68 % av verdiene ligger innenfor ett standardavvik fra μ, 95 % innenfor to, og nesten alle (99,7 %) innenfor tre.

Eksempler

Eksempel 1: mindre enn

Høyden X til en gruppe er normalfordelt med μ = 170 cm og σ = 8 cm. Finn P(X < 180).

z = 180 − 1708 = 1,25 · P(X < 180) = Φ(1,25) ≈ 0,8944

Eksempel 2: mellom to verdier

Finn P(162 < X < 178) i samme fordeling.

Φ(1) − Φ(−1) ≈ 0,8413 − 0,1587 ≈ 0,683

Omtrent 68 % ligger innenfor ett standardavvik.

Eksempel 3: baklengs: finn grensen

Hvilken høyde er det bare 5 % som er høyere enn? Vi trenger Φ(z) = 0,95, som gir z ≈ 1,645 i tabellen.

x = μ + z · σ = 170 + 1,645 · 8 ≈ 183,2

5 % er høyere enn omtrent 183,2 cm.

Vanlige feil

Å glemme 1 − Φ(z) når du skal finne P(X > x).
Å dele på variansen i stedet for standardavviket.
Å lese tabellen med feil z, for eksempel 1,2 i stedet for 1,25.
Å bruke normalfordelingen på data som tydelig er skjeve.

På eksamen

Normalfordelingen kommer på del 2 i S2 hvert år, og fra våren 2027 med tabell over Φ(z) i stedet for digitalt verktøy. Lær deg å lese tabellen raskt, også baklengs. Skriv z-verdien og hvilken Φ du bruker, så sensor kan følge regningen. På del 1 kan du få spørsmål om tommelfingerregelen og hva μ og σ betyr.

I kurset hører temaet til leksjon 8.2 i modulen Normalfordelingen, som øves til del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan regner jeg ut sannsynligheter i normalfordelingen?

Standardiser med z = (x − μ)/σ, og les av Φ(z) i tabellen. P(X > x) = 1 − Φ(z).

Hva er Φ(z)?

Sannsynligheten for at en standard normalfordelt variabel er mindre enn eller lik z, altså arealet til venstre for z.

Hvor mange prosent ligger innenfor to standardavvik?

Omtrent 95 %.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.