Annuitetslån med nåverdi og geometrisk rekke
I et annuitetslån er terminbeløpet likt hver gang. I S2 finner du det selv: summen av nåverdiene til alle terminbeløpene skal være lik lånebeløpet.
Lær dette i Sophus: 2.3 Annuitetslån i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen
Nåverdi
Nåverdien av et beløp B som betales om n år, er hva det er verdt i dag: Bkn, der k = 1 + r. Et terminbeløp om ett år er verdt Tk i dag, om to år Tk2, og så videre.
Terminbeløpet
Lånet L er summen av nåverdiene:
L = Tk + Tk2 + … + Tkn gir T = L · r1 − k−n
Formelen kommer fra sumformelen for en geometrisk rekke med kvotient 1k.
Eksempler
Eksempel 1: årlige terminer
Et lån på 2 000 000 kr med 5 % rente skal betales med 25 årlige terminer.
T = 2 000 000 · 0,051 − 1,05−25 ≈ 141 905
Til sammen betaler du 25 · 141 905 = 3 547 625 kr.
Eksempel 2: månedlige terminer
Samme lån med månedlige terminer: rente 0,0512 per måned og 300 terminer.
T = 2 000 000 · 0,05121 − (1 + 0,0512)−300 ≈ 11 692
Eksempel 3: nåverdi av en serie
Hva er 10 årlige utbetalinger på 20 000 kr verdt i dag, med 6 % rente? Første utbetaling er om ett år.
20 000 · 1 − 1,06−100,06 ≈ 147 202
Vanlige feil
- Å gange med kn i stedet for å dele. Nåverdien er mindre enn beløpet.
- Å bruke årsrenten og antall år når terminene er månedlige.
- Å tro at terminbeløpet er lånet delt på antall terminer. Det er avdraget på et serielån.
På eksamen
Annuitetslån med nåverdi er en typisk del 2-oppgave i S2. Fra våren 2027 er del 2 uten regneark, så du setter opp rekken av nåverdier og bruker sumformelen. Se også serielån og annuitetslån i 1P, som forklarer begrepene.
I kurset hører temaet til leksjon 2.3 i modulen Rekker i økonomi, som øves til del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.
Spørsmål og svar
Hva er nåverdi?
Hva et beløp som betales i framtiden, er verdt i dag: beløpet delt på vekstfaktoren opphøyd i antall perioder.
Hvordan finner jeg terminbeløpet i et annuitetslån?
Sett lånebeløpet lik summen av nåverdiene av terminbeløpene, og løs for T: T = L · r/(1 − (1 + r)^(−n)).
Hvorfor er det en geometrisk rekke?
Fordi hver nåverdi er den forrige delt på 1 + r, så kvotienten er 1/(1 + r).
Les også
- Sparing med faste innskudd: sluttverdi med rekker
- Geometriske følger og rekker · Matematikk R2
- Serielån og annuitetslån: forskjellen med eksempel · Matematikk 1P
- Renters rente: sparing med formel · Matematikk 2P
- Formelark for S2
- Eksamen i S2
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.