Binomisk fordeling: sannsynlighet, forventning og standardavvik

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Binomisk fordeling beskriver antall suksesser i n uavhengige forsøk med samme sannsynlighet p. Den brukes for alt fra rett svar på flervalgsprøver til feil i en produksjon.

Lær dette i Sophus: 7.3 Binomisk fordeling: forventning og standardavvik i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

Når er det binomisk?

n forsøk som er uavhengige av hverandre.
Hvert forsøk har to utfall: suksess eller ikke.
Sannsynligheten p for suksess er lik i hvert forsøk.

Formlene

P(X = k) = (nCk) · p^k · (1 − p)^{n − k}

E(X) = n · p · SD(X) = √(n · p · (1 − p))

nCk er antall måter å velge k av n på, og står på kalkulatoren som nCr.

Ord som betyr noe

Les spørsmålet nøye. «Nøyaktig 3» er P(X = 3). «Høyst 3» er P(X ≤ 3), altså 0, 1, 2 eller 3. «Minst 3» er P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). «Flere enn 3» er P(X ≥ 4). Ofte er det raskest å regne ut komplementet, særlig uten digitalt verktøy. Skriv alltid hva X er, for eksempel «X = antall riktige svar», og hvilke verdier n og p har.

Eksempler

Eksempel 1: nøyaktig k

X er binomisk med n = 10 og p = 0,3. Finn P(X = 3).

P(X = 3) = (10C3) · 0,3³ · 0,7⁷ = 120 · 0,027 · 0,7⁷ ≈ 0,2668

Eksempel 2: høyst én

P(X ≤ 1) = 0,7¹⁰ + 10 · 0,3 · 0,7⁹ ≈ 0,0282 + 0,1211 = 0,1493

«Minst to» er da 1 − 0,1493 = 0,8507.

Eksempel 3: forventning og standardavvik

E(X) = 10 · 0,3 = 3 · SD(X) = √(10 · 0,3 · 0,7) = √2,1 ≈ 1,449

Vanlige feil

Å glemme (nCk), så bare én rekkefølge blir regnet med.
Å regne «minst to» som P(X = 2). «Minst to» er 1 − P(X ≤ 1).
Å bruke binomisk fordeling når forsøkene ikke er uavhengige, for eksempel trekning uten tilbakelegging fra en liten mengde.

På eksamen

Binomisk fordeling kommer på del 1 og del 2 i S2, og er grunnlaget for binomiske hypotesetester. Fra våren 2027 har du ikke digitalt verktøy på del 2, så summer som P(X ≤ 3) regner du ledd for ledd med nCr, eller med komplementet. For store n kan normaltilnærming være aktuelt.

I kurset hører temaet til leksjon 7.3 i modulen Stokastiske variabler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Når er en fordeling binomisk?

Når du har n uavhengige forsøk med to mulige utfall og samme sannsynlighet p for suksess i hvert forsøk.

Hva er formelen for binomisk sannsynlighet?

P(X = k) = (n over k) · p^k · (1 − p)^(n − k).

Hva er forventningen i binomisk fordeling?

E(X) = n · p, og standardavviket er √(n · p · (1 − p)).

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.