Temaer › Matematikk S2

Sentralgrensesetningen forklart

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Sentralgrensesetningen sier at summen og gjennomsnittet av mange uavhengige variabler er tilnærmet normalfordelt, uansett hvilken fordeling de enkelte variablene har. Derfor dukker normalfordelingen opp overalt.

Lær dette i Sophus: 8.3 Sentralgrensesetningen i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

For summen og gjennomsnittet

Har X₁, …, X_n samme fordeling med forventning μ og standardavvik σ, og er uavhengige, er

E(S) = n · μ,  SD(S) = σ · √n  ·  E(X̄) = μ,  SD(X̄) = σ√n

For stor n er både S og X̄ tilnærmet normalfordelt.

Hvor stor må n være?

En vanlig tommelfingerregel er n ≥ 30. Er variablene selv normalfordelte, gjelder det for alle n.

Hvorfor den er så viktig

Mange størrelser vi måler, er summer av mange små, tilfeldige bidrag: vekten av en pakke, ventetiden i en kø, eller gjennomsnittet i en spørreundersøkelse. Sentralgrensesetningen forklarer hvorfor slike størrelser ofte er normalfordelte, og den er grunnen til at vi kan teste påstander om et gjennomsnitt med normalfordelingen, selv når vi ikke vet hvordan hver enkelt måling er fordelt.

Eksempler

Eksempel 1: gjennomsnittsvekten

Pakker har forventet vekt 500 g og standardavvik 12 g. En kunde kjøper 36 pakker. Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsvekten er under 497 g?

SD(X̄) = 12√36 = 2  ·  z = 497 − 5002 = −1,5  ·  Φ(−1,5) ≈ 0,0668

Eksempel 2: en sum

En kafé selger 50 kaffe i timen. Hver kunde bruker i snitt 2 minutter ved kassa, med standardavvik 0,5 minutter. Hva er sannsynligheten for at 50 kunder til sammen bruker over 105 minutter?

E(S) = 50 · 2 = 100  ·  SD(S) = 0,5 · √50 ≈ 3,536

z = 105 − 1003,536 ≈ 1,41  ·  1 − Φ(1,41) ≈ 0,079

Vanlige feil

• Å bruke σ i stedet for σ√n for gjennomsnittet.
• Å gange standardavviket med n for summen. Det skal ganges med √n.
• Å tro at setningen sier at de enkelte variablene er normalfordelte.

På eksamen

Sentralgrensesetningen kommer i S2 både som forklaringsoppgave på del 1 og som regneoppgave på del 2, ofte sammen med test av gjennomsnitt. Fra våren 2027 bruker du Φ-tabell på del 2. Skriv hvilken fordeling du bruker og hvorfor, for eksempel «n er stor, så X̄ er tilnærmet normalfordelt».

I kurset hører temaet til leksjon 8.3 i modulen Normalfordelingen, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Normalfordelingen: sannsynligheter med Φ-tabell
• Hypotesetesting: H₀, H₁, p-verdi og signifikansnivå
• Varians og standardavvik for en stokastisk variabel
• Formelark for S2
• Eksamen i S2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.