Temaer › Matematikk S2

Grensekostnad, grenseinntekt og størst overskudd

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Grensekostnaden K′(x) er omtrent hva det koster å lage én enhet til. Grenseinntekten I′(x) er omtrent hva du får inn for én enhet til. Overskuddet er størst der de er like.

Lær dette i Sophus: 4.2 Grenseinntekt og størst overskudd i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

Begrepene

• K(x): kostnaden ved å lage x enheter.
• I(x): inntekten ved å selge x enheter. Med fast pris p er I(x) = p · x.
• O(x) = I(x) − K(x): overskuddet.

Størst overskudd

Overskuddet har toppunkt der O′(x) = 0, altså der

I′(x) = K′(x)

Så lenge én enhet til gir mer inntekt enn kostnad, lønner det seg å produsere mer.

Når prisen avhenger av antallet

Må prisen settes ned for å selge flere, er prisen en funksjon av x, for eksempel p(x) = 200 − 0,05x. Da er inntekten I(x) = p(x) · x = 200x − 0,05x², og grenseinntekten er I′(x) = 200 − 0,1x. Grenseinntekten synker når du selger mer. Metoden for størst overskudd er den samme: sett I′(x) = K′(x), løs for x, og sjekk med fortegnslinje for O′(x) at det er et toppunkt.

Eksempler

Eksempel 1: grensekostnad

K(x) = 0,02x² + 40x + 5 000. Finn og tolk K′(500).

K′(x) = 0,04x + 40  ·  K′(500) = 60

Når det lages 500 enheter, koster én enhet til omtrent 60 kr. (Nøyaktig: K(501) − K(500) = 60,02.)

Eksempel 2: størst overskudd

Varen selges for 100 kr, så I(x) = 100x og I′(x) = 100.

100 = 0,04x + 40  ·  x = 1 500

O(1 500) = 150 000 − (45 000 + 60 000 + 5 000) = 40 000

Overskuddet er størst, 40 000 kr, ved 1 500 enheter.

Vanlige feil

• Å tolke K′(500) som kostnaden for 500 enheter. Den er kostnaden for én enhet til.
• Å sette K′(x) = 0 for å finne størst overskudd.
• Å glemme faste kostnader når du regner ut overskuddet.

På eksamen

Derivasjon i økonomi kommer på del 1 og del 2 i S2. Typisk skal du finne grensekostnaden, tolke den, og finne produksjonen som gir størst overskudd. Fra våren 2027 kan du ikke tegne grafene digitalt på del 2, så løs I′(x) = K′(x) ved regning og forklar med ord.

I kurset hører temaet til leksjon 4.2 i modulen Derivasjon i økonomi, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Enhetskostnad og laveste kostnad per enhet
• Toppunkt og bunnpunkt med den deriverte · Matematikk 1T
• Derivasjonsregler for polynomer · Matematikk 1T
• Formelark for S2
• Eksamen i S2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.