Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 5 · leksjon 5.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Å integrere er å derivere baklengs. Her lærer du hva en antiderivert er, potensregelen for integraler, og hvorfor det står + C i et ubestemt integral.

Dette er leksjon 5.1 Antiderivert og ubestemt integral i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Derivasjon baklengs

Den deriverte av x² er 2x. Da er x² en antiderivert til 2x. En antiderivert F til f er en funksjon der F'(x) = f(x).

Men x² + 5 har også 2x som derivert, fordi konstanten forsvinner. Derfor skriver vi + C, en konstant vi ikke kjenner. Integraltegnet ∫ … dx betyr: finn alle antideriverte.

Reglene

1. F er en antiderivert til f når F'(x) = f(x).
2. ∫xⁿ dx = 1 delt på n + 1xⁿ⁺¹ + C. Eksponenten øker med 1, og du deler på den nye eksponenten.
3. Husk + C i et ubestemt integral.

Eksempler

Eksempel 1: ledd for ledd

Finn ∫(3x² + 4x − 1) dx.

F(x) = x³ + 2x² − x
F'(x) = 3x² + 4x − 1

Svar: ∫(3x² + 4x − 1) dx = x³ + 2x² − x + C

3x² blir 3 delt på 3x³ = x³. 4x blir 4 delt på 2x² = 2x². −1 blir −x. Den siste linjen er sjekken: deriverer du svaret, får du funksjonen du startet med.

Eksempel 2: et integral til

Finn ∫(6x² − 2x + 5) dx.

F(x) = 2x³ − x² + 5x
F'(x) = 6x² − 2x + 5

Svar: ∫(6x² − 2x + 5) dx = 2x³ − x² + 5x + C

Øv selv: 15 oppgaver i integrasjonsregler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme + C i et ubestemt integral.
• Å derivere i stedet for å integrere. 3x² + 4x − 1 blir da 6x + 4. Når du integrerer, øker eksponenten.
• Å glemme å dele på den nye eksponenten. ∫3x² dx er x³, ikke 3x³.

På eksamen

Ubestemte integraler kommer på del 1. Sjekk alltid svaret ved å derivere det. Da finner du de fleste feil selv. Skriv + C til slutt, ellers kan du miste poeng.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: antiderivert ubestemt integral integrasjonskonstant

Les også

• Integrasjonsregler – forklart steg for steg
• Det bestemte integralet som areal – forklart steg for steg
• Analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Areal mellom grafer – forklart steg for steg
• Integral i økonomi og praksis – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.