Areal mellom grafer – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 5 · leksjon 5.5 · eksamen: del 1 og del 2

Arealet mellom to grafer finner du med ett integral. Her lærer du å finne grensene, sjekke hvilken graf som ligger øverst, og sette opp integralet riktig.

Dette er leksjon 5.5 Areal mellom grafer i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tre steg

1. Finn skjæringspunktene. De gir grensene hvis oppgaven ikke gir dem.
2. Sjekk hvilken graf som er øverst, ved å sette inn et tall mellom grensene.
3. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Hvorfor øverste minus nederste?

Høyden mellom grafene i et punkt er den øverste verdien minus den nederste. Integralet legger sammen alle høydene. Trekker du feil vei, blir svaret negativt, og et areal kan ikke være negativt.

Eksempler

Eksempel 1: mellom x og x²

Finn arealet mellom f(x) = x og g(x) = x² fra x = 0 til x = 1.

F(x) = x² delt på 2 − x³ delt på 3
F(1) − F(0) = 1 delt på 2 − 1 delt på 3 = 1 delt på 6

Svar: Arealet er 1 delt på 6.

For x = 0,5 er f(x) = 0,5 og g(x) = 0,25, så f er øverst. Du integrerer x − x².

Eksempel 2: finn grensene selv

Finn arealet mellom f(x) = x + 2 og g(x) = x².

x² − x − 2 = 0
x = −1 eller x = 2

Svar: Grensene er −1 og 2, og arealet er 9 delt på 2 = 4,5.

Mellom skjæringspunktene er x + 2 øverst. Integralet av x + 2 − x² fra −1 til 2 er 10 delt på 3 − (−7 delt på 6) = 9 delt på 2.

Øv selv: 15 oppgaver i areal mellom grafer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å trekke den øverste grafen fra den nederste. Da blir svaret negativt, som −1 delt på 6.
• Å gjette på grensene i stedet for å finne skjæringspunktene.
• Å regne arealet under hver graf og glemme å trekke fra.

På eksamen

Areal mellom grafer kommer på del 1 og del 2. Fra våren 2027 skisserer du grafene for hånd på del 2, og regner integralet med antiderivert. Skriv hvilken graf som er øverst, og hvorfor, før du setter opp integralet.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: areal skjæringspunkt

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler – forklart steg for steg
• Det bestemte integralet som areal – forklart steg for steg
• Analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Integral i økonomi og praksis – forklart steg for steg
• Areal mellom grafer: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.