Integrasjonsregler – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 5 · leksjon 5.2 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Her lærer du integralene av eˣ, e opphøyd i ^kx og 1 delt på x, i tillegg til potensregelen. Med disse fire reglene klarer du de fleste integralene i S2.

Dette er leksjon 5.2 Integrasjonsregler i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

De nye reglene

1. ∫eˣ dx = eˣ + C, fordi eˣ er sin egen deriverte.
2. ∫e opphøyd i ^kx dx = 1 delt på ke opphøyd i ^kx + C. Du deler på k fordi kjerneregelen ganger med k når du deriverer.
3. ∫1 delt på x dx = ln x + C, for x > 0.

Hvorfor ikke potensregelen på 1/x?

1 delt på x er x opphøyd i ⁻¹. Potensregelen ville gitt x⁰ delt på 0, og du kan ikke dele på 0. Derfor har 1 delt på x sin egen regel.

Eksempler

Eksempel 1: e og 1/x

Finn ∫(2eˣ + 3 delt på x) dx for x > 0.

F(x) = 2eˣ + 3 ln x
F'(x) = 2eˣ + 3 delt på x

Svar: ∫(2eˣ + 3 delt på x) dx = 2eˣ + 3 ln x + C

Den siste linjen er sjekken: deriver svaret, og du får funksjonen tilbake.

Eksempel 2: med en kjerne

Finn ∫(4x³ + e opphøyd i ^2x) dx.

F(x) = x⁴ + 1 delt på 2e opphøyd i ^2x
F'(x) = 4x³ + e opphøyd i ^2x

Svar: ∫(4x³ + e opphøyd i ^2x) dx = x⁴ + 1 delt på 2e opphøyd i ^2x + C

e opphøyd i ^2x har k = 2, så du deler på 2.

Øv selv: 15 oppgaver i integrasjonsregler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke potensregelen på 1 delt på x. Integralet er ln x.
• Å integrere eˣ som en potens og skrive eˣ⁺¹ delt på x + 1. Svaret er bare eˣ.
• Å gange med k i stedet for å dele når du integrerer e opphøyd i ^kx.

På eksamen

Integrasjonsreglene brukes på del 1, både i ubestemte integraler og i bestemte integraler og areal. Skriv hvilken regel du bruker på hvert ledd, og sjekk svaret ved å derivere.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: integrasjonsregel

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Det bestemte integralet som areal – forklart steg for steg
• Analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Areal mellom grafer – forklart steg for steg
• Integral i økonomi og praksis – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.