Det bestemte integralet som areal – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 5 · leksjon 5.3 · eksamen: del 1 og del 2

Det bestemte integralet er knyttet til arealet under en graf. Her lærer du å anslå arealet med rektangler, og hva som skjer når grafen ligger under x-aksen.

Dette er leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Rektangler under grafen

1. Del intervallet fra a til b i n like deler. Bredden er b − a delt på n.
2. Høyden til hvert rektangel er funksjonsverdien i et endepunkt.
3. Summen er bredden ganger summen av høydene.

Fra summer til integral

Med flere og smalere rektangler kommer summen nærmere det eksakte arealet. Lar du antallet gå mot uendelig, nærmer summen seg et tall. Det tallet er det bestemte integralet fra a til b.

Over og under x-aksen

Integralet regner areal over x-aksen som positivt og areal under som negativt. Spør oppgaven etter arealet, svarer du med et positivt tall.

Eksempler

Eksempel 1: fire rektangler

Bruk 4 rektangler med høyde fra venstre endepunkt til å anslå arealet under f(x) = x² fra x = 0 til x = 2.

2 − 0 delt på 4 = 0,5
0,5² = 0,25
1,5² = 2,25
0,5 · (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75

Svar: Anslaget er 1,75.

Venstre endepunkter er 0, 0,5, 1 og 1,5. Høydene er 0, 0,25, 1 og 2,25.

Det eksakte arealet er 8 delt på 3 ≈ 2,67. Funksjonen vokser, så rektanglene ligger under grafen, og anslaget blir for lite.

Eksempel 2: under x-aksen

Grafen til f(x) = x − 2 ligger under x-aksen fra x = 0 til x = 2. Hva er integralet, og hva er arealet?

2 · 2 delt på 2 = 2

Svar: Integralet er −2, og arealet er 2.

Området er en trekant med grunnlinje 2 og høyde 2. Den ligger under x-aksen, så integralet er negativt.

Øv selv: 15 oppgaver i bestemte integraler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke antall rektangler som bredde. Bredden er lengden av intervallet delt på antallet.
• Å tro at venstre endepunkt gir for stort anslag når funksjonen vokser. Det er motsatt: anslaget blir for lite.
• Å svare med et negativt tall når oppgaven spør etter arealet.

På eksamen

På eksamen kan du få en tabell med verdier eller en graf, og bli bedt om å anslå et integral med rektangler. Fra våren 2027 gjør du dette for hånd på del 2. Skriv bredden, høydene og summen hver for seg, og si om anslaget er for stort eller for lite.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: bestemt integral øvre sum nedre sum

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler – forklart steg for steg
• Analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg
• Areal mellom grafer – forklart steg for steg
• Integral i økonomi og praksis – forklart steg for steg
• Bestemte integraler: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.