Analysens fundamentalteorem – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 5 · leksjon 5.4 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Analysens fundamentalteorem gir deg en rask vei til det eksakte integralet. Her lærer du å bruke F(b) − F(a), og hvorfor du ikke trenger + C.

Dette er leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Regelen

Du trenger ikke + C her, fordi C forsvinner når du trekker fra.

1. Finn en antiderivert F til f.
2. Integralet fra a til b av f(x) dx er F(b) − F(a).
3. Øvre grense først, så trekker du fra nedre grense.

Sammenhengen

Integralet av en funksjon er den samlede endringen i den antideriverte. Derivasjon og integrasjon er altså motsatte operasjoner. Det er derfor rektanglene fra forrige leksjon og antideriverte gir det samme svaret.

Eksempler

Eksempel 1: et bestemt integral

Regn ut integralet fra 1 til 3 av (2x + 1) dx.

F(x) = x² + x
F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10

Svar: Integralet er 10.

F(3) = 9 + 3 = 12 og F(1) = 1 + 1 = 2.

Eksempel 2: areal under en graf

Finn arealet under grafen til f(x) = 3x² fra x = 0 til x = 2.

F(x) = x³
F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8

Svar: Arealet er 8.

Grafen ligger over x-aksen, så arealet er lik integralet.

Øv selv: 15 oppgaver i bestemte integraler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å regne F(1) − F(3) og få −10. Det er alltid øvre grense minus nedre.
• Å sette grensene inn i f i stedet for i F. Da får du f(3) − f(1) = 4, som ikke er integralet.
• Å glemme parentesene når F har flere ledd. Trekk fra hele F(a).

På eksamen

Bestemte integraler kommer på del 1. Skriv antiderivert i hakeparentes med grensene, og regn ut F(b) og F(a) hver for seg. Sjekk at fortegnet passer med grafen: ligger den over x-aksen, skal integralet være positivt.

Leksjonen hører til modulen Integrasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: fundamentalteorem antiderivert

Les også

• Antiderivert og ubestemt integral – forklart steg for steg
• Integrasjonsregler – forklart steg for steg
• Det bestemte integralet som areal – forklart steg for steg
• Areal mellom grafer – forklart steg for steg
• Integral i økonomi og praksis – forklart steg for steg
• Bestemte integraler: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.