Modeller med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 2 · leksjon 2.5 · eksamen: del 2

Mye i naturen gjentar seg, som tidevann og dagslengde. Her lærer du å tolke tallene i en modell som f(t) = A sin(kt) + d, og å finne når den endrer seg raskest.

Dette er leksjon 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tallene i modellen

I modellen f(t) = A sin(kt) + d er A amplituden, k bestemmer perioden, og d er likevektslinjen. Står det A sin(kt + c) + d, forskyver c grafen sideveis.

Reglene

1. Høyeste verdi er d + A, og laveste er d − A.
2. Perioden er p = 2π delt på k.
3. Modellen endrer seg raskest på likevektslinjen, der den deriverte har størst tallverdi.

Eksempler

Eksempel 1: tidevann

Vannstanden i en havn er h(t) = 1,5 sin(π delt på 6t) + 2 meter, der t er timer. Finn høyeste og laveste vannstand, og perioden.

2 + 1,5 = 3,5
2 − 1,5 = 0,5
2π : π delt på 6 = 12

Svar: Høyeste vannstand er 3,5 m, laveste er 0,5 m, og perioden er 12 timer.

Eksempel 2: raskest stigning

Når stiger vannet raskest, og hvor fort?

1,5 · π delt på 6 = π delt på 4
π delt på 4 ≈ 0,79

Svar: h′(t) = π delt på 4 cos(π delt på 6t). Vannet stiger raskest når t = 0 og t = 12, med omtrent 0,79 m per time.

cos er størst, 1, når vinkelen er 0 eller 2π. Da er t = 0 eller t = 12.

Øv selv: 15 oppgaver i derivere sinus og cosinus med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å si at perioden er π delt på 6. Det er k. Perioden er 2π delt på k.
• Å tro at vannet stiger raskest på toppen. På toppen står det stille.
• Å svare 1,5 m for høyeste vannstand. Det er amplituden. Høyeste vannstand er d + A.

På eksamen

Periodiske modeller kommer på del 2. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin, så du leser av A, k og d fra formelen, regner perioden for hånd og bruker kalkulatoren i radianer. Skriv svarene med enhet, og forklar hva de betyr i situasjonen.

Leksjonen hører til modulen Trigonometriske funksjoner og øves til del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: periodisk modell tidevann

Les også

• Grafene til sinus og cosinus – forklart steg for steg
• Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje
• Derivasjon av sinus, cosinus og tangens
• Drøfting av trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Derivere sinus og cosinus: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.