Hopp til innholdet

Derivere sinus og cosinus: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i derivere sinus og cosinus i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner, 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner, 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

f′(a) = 0 og f″(a) = −3. Hva slags punkt har f i x = a?

  1. A: vendepunkt
  2. B: bunnpunkt
  3. C: toppunkt
Vis løsning på oppgave 1

f″(a) < 0, så det er et toppunkt.

Fasit: C: toppunkt

Fra leksjon 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Deriver f(x) = x cos x.

  1. A: cos x + x sin x
  2. B: cos x − x sin x
  3. C: −sin x
  4. D: −x sin x
Vis løsning på oppgave 2

Produktregelen: f′(x) = cos x − x sin x.

Fasit: B: cos x − x sin x

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hvor mange løsninger har sin x = 1 for x ∈ [0, 2π⟩?

Vis løsning på oppgave 3

sin x = 1 har 1 løsning i [0, 2π⟩.

Fasit: 1

Fra leksjon 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Deriver f(x) = 2 sin(2x).

  1. A: 2 cos(2x)
  2. B: 4 sin(2x)
  3. C: 4 cos(2x)
  4. D: −4 cos(2x)
Vis løsning på oppgave 4

(sin(2x))′ = cos(2x) · 2, så f′(x) = 4 cos(2x).

Fasit: C: 4 cos(2x)

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Deriver f(x) = 3 cos(3x).

  1. A: 9 sin(3x)
  2. B: −9 sin(3x)
  3. C: −9 cos(3x)
  4. D: −3 sin(3x)
Vis løsning på oppgave 5

(cos(3x))′ = −sin(3x) · 3, så f′(x) = −9 sin(3x).

Fasit: B: −9 sin(3x)

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

f(x) = sin x. Finn f′(π delt på 2).

  1. A: −1
  2. B: 0
  3. C: 1
Vis løsning på oppgave 6

f′(x) = cos x, så f′(π delt på 2) = 0.

Fasit: B: 0

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

h(t) = 4 sin(π delt på 12t) + 15. Hva er høyeste verdi?

Vis løsning på oppgave 7

d + A = 15 + 4 = 19.

Fasit: 19

Fra leksjon 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

h(t) = 2 cos(π delt på 6t) + 7. Hva er laveste verdi?

Vis løsning på oppgave 8

d − A = 7 − 2 = 5.

Fasit: 5

Fra leksjon 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

h(t) = 3 sin(π delt på 3t) + 10. Hva er perioden?

Vis løsning på oppgave 9

p = 2π delt på π delt på 3 = 6.

Fasit: 6

Fra leksjon 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

h(t) = 12 sin(π delt på 6t) + 5. Hvor fort øker h på det raskeste?

  1. A: π delt på 6
  2. B: 12
  3. C: 0
  4. D: 2π
Vis løsning på oppgave 10

h′(t) = 12 · π delt på 6 cos(π delt på 6t), som er størst når cos = 1: 2π.

Fasit: D: 2π

Fra leksjon 2.5 Modeller med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Deriver f(x) = 2 sin(3x).

  1. A: −6 cos(3x)
  2. B: 6 sin(3x)
  3. C: 6 cos(3x)
  4. D: 2 cos(3x)
Vis løsning på oppgave 11

(sin(3x))′ = cos(3x) · 3, så f′(x) = 6 cos(3x).

Fasit: C: 6 cos(3x)

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Deriver f(x) = 2 cos(3x).

  1. A: 6 sin(3x)
  2. B: −2 sin(3x)
  3. C: −6 cos(3x)
  4. D: −6 sin(3x)
Vis løsning på oppgave 12

(cos(3x))′ = −sin(3x) · 3, så f′(x) = −6 sin(3x).

Fasit: D: −6 sin(3x)

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

f(x) = sin x. Finn f′(π delt på 6).

  1. A: −√3 delt på 2
  2. B: 0
  3. C: √3 delt på 2
  4. D: 1 delt på 2
Vis løsning på oppgave 13

f′(x) = cos x, så f′(π delt på 6) = √3 delt på 2.

Fasit: C: √3 delt på 2

Fra leksjon 2.3 Derivasjon av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

f(x) = x − 2 sin x, x ∈ [0, 2π⟩. Løs f′(x) = 0.

  1. A: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  2. B: x = π delt på 6 eller x = 11π delt på 6
  3. C: x = π delt på 3
  4. D: x = π delt på 2
Vis løsning på oppgave 14

f′(x) = 1 − 2 cos x = 0 gir x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3.

Fasit: A: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3

Fra leksjon 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

f(x) = cos x − sin x, x ∈ [0, 2π]. Hva er x-verdien til toppunktet?

  1. A: x = 7π delt på 4
  2. B: x = 0
  3. C: x = 3π delt på 4
  4. D: x = π delt på 2
Vis løsning på oppgave 15

f′(x) = 0 gir x = 7π delt på 4 og x = 3π delt på 4. f(7π delt på 4) = √2 er størst, så toppunktet er i x = 7π delt på 4.

Fasit: A: x = 7π delt på 4

Fra leksjon 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: C: toppunkt
  2. Oppgave 2: B: cos x − x sin x
  3. Oppgave 3: 1
  4. Oppgave 4: C: 4 cos(2x)
  5. Oppgave 5: B: −9 sin(3x)
  6. Oppgave 6: B: 0
  7. Oppgave 7: 19
  8. Oppgave 8: 5
  9. Oppgave 9: 6
  10. Oppgave 10: D: 2π
  11. Oppgave 11: C: 6 cos(3x)
  12. Oppgave 12: D: −6 sin(3x)
  13. Oppgave 13: C: √3 delt på 2
  14. Oppgave 14: A: x = π delt på 3 eller x = 5π delt på 3
  15. Oppgave 15: A: x = 7π delt på 4

Oppgavene hører til leksjonene 2.3–2.5 i modulen Trigonometriske funksjoner, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.