Drøfting av trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 2 · leksjon 2.4 · eksamen: del 1 og del 2

Når du skal drøfte en trigonometrisk funksjon, finner du topp- og bunnpunktene med den deriverte. Her lærer du metoden i tre steg, med et eksempel fra start til slutt.

Dette er leksjon 2.4 Drøfting av trigonometriske funksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Flat graf i topp og bunn

I et toppunkt og et bunnpunkt er grafen flat, så den deriverte er 0. Derfor starter du med å løse f′(x) = 0 i intervallet.

Tre steg

1. Løs f′(x) = 0, og finn alle løsningene i intervallet.
2. Avgjør om det er topp eller bunn, med en fortegnslinje for f′(x) eller med f″(x). Er f″(x) negativ, er det et toppunkt. Er den positiv, er det et bunnpunkt.
3. Regn ut f(x), så du får hele punktet.

Eksempler

Eksempel 1: der den deriverte er null

f(x) = sin x + cos x, x ∈ [0, 2π]. Løs f′(x) = 0.

cos x − sin x = 0
tan x = 1
x = π delt på 4 eller x = 5π delt på 4

Svar: f′(x) = cos x − sin x, og f′(x) = 0 gir x = π delt på 4 eller x = 5π delt på 4.

Du deler på cos x for å få tan x. Det går her, fordi cos x ikke er 0 der sin x = cos x.

Eksempel 2: topp eller bunn

Avgjør hvilket punkt som er toppunkt og hvilket som er bunnpunkt, og finn punktene.

−sin π delt på 4 − cos π delt på 4 = −√2
−sin 5π delt på 4 − cos 5π delt på 4 = √2
sin π delt på 4 + cos π delt på 4 = √2
sin 5π delt på 4 + cos 5π delt på 4 = −√2

Svar: Toppunktet er (π delt på 4, √2), og bunnpunktet er (5π delt på 4, −√2).

f″(x) = −sin x − cos x er negativ i π delt på 4 og positiv i 5π delt på 4. De to siste linjene er f-verdiene.

Øv selv: 15 oppgaver i derivere sinus og cosinus med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å finne bare x = π delt på 4 når du løser tan x = 1. Tangens har periode π, så 5π delt på 4 er også en løsning.
• Å svare bare med x-verdien. Et toppunkt har både x og y.
• Å glemme endepunktene når oppgaven spør etter største og minste verdi i et lukket intervall.

På eksamen

Drøfting kommer på del 1 og del 2. Skriv f′(x), vis hvordan du løser f′(x) = 0, og begrunn topp og bunn med en fortegnslinje eller f″(x). Fra våren 2027 tegner du fortegnslinjen og grafen for hånd også på del 2.

Leksjonen hører til modulen Trigonometriske funksjoner og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: toppunkt bunnpunkt fortegnslinje

Les også

• Grafene til sinus og cosinus – forklart steg for steg
• Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje
• Derivasjon av sinus, cosinus og tangens
• Modeller med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Derivere sinus og cosinus: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.