Sinusfunksjoner: amplitude, periode og likevektslinje

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Sinusfunksjoner beskriver alt som gjentar seg: tidevann, temperatur gjennom året og lengden på dagen. Med fire tall, A, c, φ og d, kan du tilpasse kurven til situasjonen.

Lær dette i Sophus: 2.2 Amplitude, periode og likevektslinje i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Formen

f(x) = A sin(cx + φ) + d

Amplitude |A|: avstanden fra likevektslinja til toppen.
Likevektslinje y = d: midt mellom største og minste verdi.
Periode p = 2πc: hvor lang tid før kurven gjentar seg.
Faseforskyvning φ: forskyver kurven sidelengs.

Fra største og minste verdi

d = maks + min2 · A = maks − min2 · c = 2πp

Toppunkter og bunnpunkter

Sinus er størst (lik 1) når vinkelen er π2 og minst (lik −1) når den er 3π2. For å finne når f(x) = A sin(cx + φ) + d har toppunkt, løser du cx + φ = π2 + k · 2π. Avstanden mellom to toppunkter er alltid én periode. Det gir en rask kontroll av modellen din: tegn likevektslinja, marker toppunktene og bunnpunktene, og sjekk at de stemmer med opplysningene i oppgaven.

Eksempler

Eksempel 1: les av en funksjon

f(x) = 3 sin(2x) + 1.

amplitude 3 · likevektslinje y = 1 · periode 2π2 = π

Største verdi er 1 + 3 = 4, og minste er 1 − 3 = −2.

Eksempel 2: tidevann

Vannstanden i en havn er høyest 3,8 m og lavest 0,6 m, og perioden er 12,4 timer.

d = 3,8 + 0,62 = 2,2 · A = 3,8 − 0,62 = 1,6 · c = 2π12,4 ≈ 0,5067

En modell er h(t) = 1,6 sin(0,5067t + φ) + 2,2, der φ bestemmes av når det er flo.

Eksempel 3: periode i måneder

f(x) = 2 cos(π6x) + 5, der x er måneder.

p = 2ππ/6

Perioden er 2π delt på π6, altså 12 måneder. Funksjonen varierer mellom 3 og 7.

Vanlige feil

Å tro at perioden er c. Perioden er 2πc.
Å bruke maks − min som amplitude. Amplituden er halvparten.
Å glemme at kalkulatoren må stå i radianer.

På eksamen

Sinusfunksjoner kommer på del 1 i R2 (les av amplitude, periode og likevektslinje, og derivér) og på del 2 i modeller. Fra våren 2027 kan du ikke bruke regresjon i et digitalt verktøy, så du lager modellen fra største verdi, minste verdi og perioden, slik som i eksempel 2.

I kurset hører temaet til leksjon 2.2 i modulen Trigonometriske funksjoner, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan finner jeg perioden?

Perioden er 2π delt på tallet foran x: p = 2π/c.

Hva er amplituden?

Avstanden fra likevektslinja til toppunktet, halvparten av forskjellen mellom største og minste verdi.

Hva er likevektslinja?

Linja y = d midt mellom største og minste verdi.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.