Integraler med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 6 · leksjon 6.5 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Her lærer du å integrere sin(kx) og cos(kx), og å regne ut arealet under en sinusbue. Det handler mest om fortegn og om å dele på k.

Dette er leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Reglene

1. ∫sin(kx) dx = −1 delt på k cos(kx) + C.
2. ∫cos(kx) dx = 1 delt på k sin(kx) + C.
3. Deriver svaret for å sjekke fortegnet og tallet foran.

Hvorfor dele på k?

Når du deriverer cos(kx), ganger kjerneregelen med k. Når du integrerer, må du derfor dele på k for å komme tilbake.

Eksempler

Eksempel 1: arealet under en sinusbue

Regn ut ∫₀ opphøyd i ^π sin x dx.

−cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2

Svar: ∫₀ opphøyd i ^π sin x dx = 2

En antiderivert er −cos x. cos π = −1 og cos 0 = 1.

Eksempel 2: med k foran x

Finn ∫sin(2x) dx, og regn ut ∫₀ opphøyd i ^π⁄2 sin(2x) dx.

−1 delt på 2 cos(2 · π delt på 2) − (−1 delt på 2 cos 0) = 1 delt på 2 + 1 delt på 2 = 1

Svar: ∫sin(2x) dx = −1 delt på 2 cos(2x) + C, og ∫₀ opphøyd i ^π⁄2 sin(2x) dx = 1.

Deriverer du −1 delt på 2 cos(2x), ganger kjerneregelen med 2, og du får sin(2x). På samme måte er ∫cos(3x) dx = 1 delt på 3 sin(3x) + C.

Øv selv: 15 oppgaver i delvis integrasjon og delbrøk med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme minus: ∫sin x dx er −cos x + C, ikke cos x + C.
• Å gange med k i stedet for å dele.
• Å regne cos π = 1. Riktig er cos π = −1.

På eksamen

Integraler med sinus og cosinus kommer på del 1. Fra våren 2027 regner du dem også for hånd på del 2. Skriv antiderivert, sett inn grensene, og bruk de eksakte verdiene fra enhetssirkelen.

Leksjonen hører til modulen Integrasjonsmetoder og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: antiderivert sinusbue

Les også

• Integrasjon ved substitusjon
• Substitusjon i bestemte integraler – forklart steg for steg
• Delvis integrasjon: formel og eksempler
• Delbrøkoppspalting – forklart steg for steg
• Delvis integrasjon og delbrøk: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.