Substitusjon i bestemte integraler – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 6 · leksjon 6.2 · eksamen: del 1 og del 2

Når du substituerer i et bestemt integral, må grensene også byttes. Her lærer du å finne de nye grensene og regne ut integralet direkte i u.

Dette er leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Nye grenser

Grensene i et bestemt integral er x-verdier. Når du bytter til u, må grensene også bli u-verdier. Du finner dem ved å sette x-grensene inn i uttrykket for u.

Tre steg

1. Velg u, og regn ut du.
2. Bytt grensene til u-verdier.
3. Integrer med hensyn på u med de nye grensene. Du trenger ikke bytte tilbake til x.

Eksempler

Eksempel 1: et polynom i en potens

Regn ut ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.

0² + 1 = 1
1² + 1 = 2
2⁴ delt på 4 − 1⁴ delt på 4 = 4 − 1 delt på 4 = 15 delt på 4

Svar: ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx = 15 delt på 4

Med u = x² + 1 er du = 2x dx. Grensene blir 1 og 2, og integralet blir ∫₁² u³ du, med antiderivert u⁴ delt på 4.

Eksempel 2: med sinus

Regn ut ∫₀ opphøyd i ^π⁄2 cos x · e opphøyd i ^{sin x} dx.

sin 0 = 0
sin π delt på 2 = 1
e¹ − e⁰ = e − 1

Svar: Integralet er e − 1.

Med u = sin x er du = cos x dx. Grensene blir 0 og 1, og integralet blir ∫₀¹ eᵘ du.

Øv selv: 15 oppgaver i integrasjon ved substitusjon med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke de gamle grensene 0 og 1 for u. De er x-verdier.
• Å bytte tilbake til x og så bruke u-grensene.
• Å regne u⁴ uten å dele på 4.

På eksamen

Substitusjon i bestemte integraler kommer på del 1. Fra våren 2027 regner du også integralene på del 2 for hånd. Skriv u, du og de nye grensene ved siden av integralet.

Leksjonen hører til modulen Integrasjonsmetoder og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: grenser substitusjon

Les også

• Integrasjon ved substitusjon
• Delvis integrasjon: formel og eksempler
• Delbrøkoppspalting – forklart steg for steg
• Integraler med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Integrasjon ved substitusjon: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.