Hopp til innholdet

Delvis integrasjon og delbrøk: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i delvis integrasjon og delbrøk i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 6.3 Delvis integrasjon, 6.4 Delbrøkoppspalting, 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

I delvis integrasjon av ∫x² ln x dx: hvilken faktor bør være v (den som deriveres)?

  1. A: det spiller ingen rolle
  2. B: v = x²
  3. C: v = ln x
Vis løsning på oppgave 1

ln x blir enklere når du deriverer, så v = ln x.

Fasit: C: v = ln x

Fra leksjon 6.3 Delvis integrasjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Faktoriser x² − 1.

  1. A: (x − 1)(x + 1)
  2. B: (x + 1)²
  3. C: (x − 1)²
  4. D: x(x − 1)
Vis løsning på oppgave 2

Konjugatsetningen: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

Fasit: A: (x − 1)(x + 1)

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Finn ∫1 delt på x + 2 dx.

  1. A: −1 delt på (x + 2)² + C
  2. B: ln|x| + C
  3. C: ln|x − 2| + C
  4. D: ln|x + 2| + C
Vis løsning på oppgave 3

(ln|x + 2|)′ = 1 delt på x + 2, så svaret er ln|x + 2| + C.

Fasit: D: ln|x + 2| + C

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Finn ∫sin(4x) dx.

  1. A: −cos(4x) + C
  2. B: 1 delt på 4 cos(4x) + C
  3. C: −1 delt på 4 cos(4x) + C
  4. D: −4 cos(4x) + C
Vis løsning på oppgave 4

∫sin(4x) dx = −1 delt på 4 cos(4x) + C.

Fasit: C: −1 delt på 4 cos(4x) + C

Fra leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn ∫cos(4x) dx.

  1. A: −1 delt på 4 sin(4x) + C
  2. B: 4 sin(4x) + C
  3. C: sin(4x) + C
  4. D: 1 delt på 4 sin(4x) + C
Vis løsning på oppgave 5

∫cos(4x) dx = 1 delt på 4 sin(4x) + C.

Fasit: D: 1 delt på 4 sin(4x) + C

Fra leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

I delvis integrasjon av ∫x cos x dx: hvilken faktor bør være v (den som deriveres)?

  1. A: v = x
  2. B: v = cos x
  3. C: det spiller ingen rolle
Vis løsning på oppgave 6

x blir enklere når du deriverer, så v = x.

Fasit: A: v = x

Fra leksjon 6.3 Delvis integrasjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Faktoriser x² − 16.

  1. A: x(x − 16)
  2. B: (x − 4)²
  3. C: (x + 4)²
  4. D: (x − 4)(x + 4)
Vis løsning på oppgave 7

Konjugatsetningen: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).

Fasit: D: (x − 4)(x + 4)

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn ∫x eˣ dx.

  1. A: x eˣ + eˣ + C
  2. B: x² delt på 2 eˣ + C
  3. C: eˣ + C
  4. D: x eˣ − eˣ + C
Vis løsning på oppgave 8

u′ = eˣ, v = x: x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C.

Fasit: D: x eˣ − eˣ + C

Fra leksjon 6.3 Delvis integrasjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn ∫ln x dx.

  1. A: x ln x − x + C
  2. B: 1 delt på x + C
  3. C: ln x − x + C
  4. D: x ln x + C
Vis løsning på oppgave 9

u′ = 1, v = ln x: x ln x − ∫x · 1 delt på x dx = x ln x − x + C.

Fasit: A: x ln x − x + C

Fra leksjon 6.3 Delvis integrasjon · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn ∫x sin x dx.

  1. A: x cos x + sin x + C
  2. B: −x cos x + sin x + C
  3. C: x² delt på 2 sin x + C
  4. D: −x cos x − sin x + C
Vis løsning på oppgave 10

u′ = sin x, v = x: −x cos x − ∫(−cos x) dx = −x cos x + sin x + C.

Fasit: B: −x cos x + sin x + C

Fra leksjon 6.3 Delvis integrasjon · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Regn ut ∫₀ opphøyd i π sin x dx.

Vis løsning på oppgave 11

[−cos x]₀ opphøyd i π = −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Regn ut ∫₀ opphøyd i {3π⁄2} sin x dx.

Vis løsning på oppgave 12

[−cos x]₀ opphøyd i {3π⁄2} = −cos 3π delt på 2 + cos 0 = 0 + 1 = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 6.5 Integraler med trigonometriske funksjoner · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

3 delt på x(x + 3) = A delt på x + B delt på x + 3. Finn A og B.

  1. A: A = 3, B = −3
  2. B: A = 1, B = 1
  3. C: A = −1, B = 1
  4. D: A = 1, B = −1
Vis løsning på oppgave 13

3 = A(x + 3) + Bx. x = 0 gir A = 1, og x = −3 gir B = −1.

Fasit: D: A = 1, B = −1

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

5x − 6 delt på (x + 2)(x − 2) = A delt på x + 2 + B delt på x − 2. Finn A og B.

  1. A: A = −4, B = −1
  2. B: A = 4, B = −1
  3. C: A = 4, B = 1
  4. D: A = 1, B = 4
Vis løsning på oppgave 14

5x − 6 = A(x − 2) + B(x + 2). x = −2 gir A = 4, og x = 2 gir B = 1.

Fasit: C: A = 4, B = 1

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

6 delt på x(x + 6) = A delt på x + B delt på x + 6. Finn A og B.

  1. A: A = −1, B = 1
  2. B: A = 1, B = 1
  3. C: A = 1, B = −1
  4. D: A = 6, B = −6
Vis løsning på oppgave 15

6 = A(x + 6) + Bx. x = 0 gir A = 1, og x = −6 gir B = −1.

Fasit: C: A = 1, B = −1

Fra leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: C: v = ln x
  2. Oppgave 2: A: (x − 1)(x + 1)
  3. Oppgave 3: D: ln|x + 2| + C
  4. Oppgave 4: C: −1 delt på 4 cos(4x) + C
  5. Oppgave 5: D: 1 delt på 4 sin(4x) + C
  6. Oppgave 6: A: v = x
  7. Oppgave 7: D: (x − 4)(x + 4)
  8. Oppgave 8: D: x eˣ − eˣ + C
  9. Oppgave 9: A: x ln x − x + C
  10. Oppgave 10: B: −x cos x + sin x + C
  11. Oppgave 11: 2
  12. Oppgave 12: 1
  13. Oppgave 13: D: A = 1, B = −1
  14. Oppgave 14: C: A = 4, B = 1
  15. Oppgave 15: C: A = 1, B = −1

Oppgavene hører til leksjonene 6.3–6.5 i modulen Integrasjonsmetoder, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.