Delvis integrasjon: formel og eksempler

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Delvis integrasjon er produktregelen baklengs. Den brukes når integranden er et produkt der den ene faktoren blir enklere når du deriverer den, som x i x e^x.

Lær dette i Sophus: 6.3 Delvis integrasjon i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

Formelen

∫ u′ · v dx = u · v − ∫ u · v′ dx

Du integrerer u′ og deriverer v. Målet er at det nye integralet blir enklere.

Hva velger du som v?

Velg som v den faktoren som blir enklest når du deriverer: et polynom (x blir 1) eller ln x (blir 1x). La u′ være det som er lett å integrere, som e^x, sin x eller cos x.

Eksempler

Eksempel 1: x · eˣ

u′ = e^x og v = x, så u = e^x og v′ = 1.

∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

Eksempel 2: ln x

Skriv ln x = 1 · ln x. u′ = 1 og v = ln x, så u = x og v′ = 1x.

∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · 1x dx = x ln x − x + C

Eksempel 3: x · cos x

u′ = cos x og v = x, så u = sin x og v′ = 1.

∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C

Eksempel 4: bestemt integral

∫₀¹ x e^x dx = [e^x(x − 1)]₀¹ = 0 − (−1) = 1

Vanlige feil

Å velge u′ og v slik at det nye integralet blir vanskeligere.
Å glemme minus foran det nye integralet.
Å glemme fortegnet når ∫ sin x dx = −cos x: −(−cos x) = +cos x.

På eksamen

Delvis integrasjon kommer på del 1 i R2, ofte med x e^x, x ln x eller x sin x. Noen ganger må du bruke metoden to ganger. Fra våren 2027 skal også del 2 regnes uten CAS. Kontroller svaret ved å derivere, det tar under ett minutt.

I kurset hører temaet til leksjon 6.3 i modulen Integrasjonsmetoder, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er formelen for delvis integrasjon?

∫ u′ · v dx = u · v − ∫ u · v′ dx.

Hvordan velger jeg u′ og v?

La v være faktoren som blir enklere når den deriveres, som x eller ln x, og u′ den som er lett å integrere.

Hvordan integrerer jeg ln x?

Skriv ln x som 1 · ln x og bruk delvis integrasjon. Svaret er x ln x − x + C.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.