Volum av omdreiningslegemer – forklart steg for steg
Dreier du en graf en hel runde rundt x-aksen, får du en romfigur. Her lærer du å regne ut volumet med et integral.
Dette er leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Sirkelskiver
Snitter du omdreiningslegemet på tvers, får du sirkelskiver. Radien i skiven er f(x), så arealet er π · f(x)². Volumet er summen av alle de tynne skivene: et integral.
Reglene
- V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx.
- Kvadrer f(x) før du integrerer.
- Husk π foran integralet.
Slik setter du opp oppgaven
Tegn grafen og intervallet først. Skriv f(x)² og forenkle før du integrerer. Ofte blir uttrykket enklere, som når √x i andre blir x. Til slutt setter du inn grensene og ganger med π.
Eksempler
Eksempel 1: grafen til √x
Grafen til f(x) = √x for x ∈ [0, 4] dreies om x-aksen. Finn volumet.
(√x)² = x
π · (4² delt på 2 − 0² delt på 2) = 8π
Svar: V = 8π
Volumet er π ∫₀⁴ x dx, og en antiderivert til x er x² delt på 2.
Eksempel 2: en kjegle
Grafen til f(x) = x delt på 2 for x ∈ [0, 4] dreies om x-aksen. Finn volumet.
(x delt på 2)² = x² delt på 4
π · (4³ delt på 12 − 0³ delt på 12) = 16π delt på 3
1 delt på 3 · π · 2² · 4 = 16π delt på 3
Svar: V = 16π delt på 3
Den siste linjen er formelen for en kjegle med radius 2 og høyde 4. Den gir det samme.
Øv selv: 15 oppgaver i volum av omdreiningslegemer med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å integrere f(x) i stedet for f(x)². Skivene er sirkler, og arealet har radien i andre.
- Å glemme π.
- Å bruke feil grenser. Grensene er x-verdiene der figuren starter og slutter.
På eksamen
Volum av omdreiningslegemer kommer på del 1 og del 2. Fra våren 2027 regner du integralet for hånd også på del 2. Skriv formelen, kvadrer f(x), og svar eksakt med π, eller som desimaltall når oppgaven ber om det.
Leksjonen hører til modulen Anvendelser av integrasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Begreper: omdreiningslegeme volum
Les også
- Volum mellom to grafer – forklart steg for steg
- Mengde fra vekstfart – forklart steg for steg
- Strekning fra fart – forklart steg for steg
- Volum av omdreiningslegemer: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R2
Mer om matte R2
- Alle modulene i matte R2
- Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R2
- Begrepene i R2 forklart
- De 10 vanligste feilene i R2
- Temaer i R2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.