Delbrøkoppspalting – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 6 · leksjon 6.4 · eksamen: del 1 og del 2

En brøk med en nevner som kan faktoriseres, kan ofte skrives som to enkle brøker. Her lærer du å spalte brøken og integrere delbrøkene.

Dette er leksjon 6.4 Delbrøkoppspalting i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Én brøk blir to

Setter du 1 delt på x − 1 − 1 delt på x + 1 på felles brøkstrek, får du 2 delt på (x − 1)(x + 1). Delbrøkoppspalting er å gå motsatt vei. De to små brøkene er lette å integrere, fordi de gir logaritmer.

1 delt på x − 1 − 1 delt på x + 1 = 2 delt på (x − 1)(x + 1)

Tre steg

1. Faktoriser nevneren.
2. Skriv brøken som A delt på x − a + B delt på x − b, og finn A og B.
3. Integrer hver brøk. ∫1 delt på x − a dx = ln|x − a| + C.

Eksempler

Eksempel 1: spalt og integrer

Finn ∫2 delt på x² − 1 dx.

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
2 delt på x² − 1 = 1 delt på x − 1 − 1 delt på x + 1

Svar: ∫2 delt på x² − 1 dx = ln|x − 1| − ln|x + 1| + C

Her er A = 1 og B = −1. Hver brøk gir en logaritme.

Eksempel 2: finn A og B med smarte x-verdier

Skriv x + 5 delt på (x − 1)(x + 2) som A delt på x − 1 + B delt på x + 2.

x + 5 = 2(x + 2) − (x − 1)
1 + 5 = 3 · 2
−2 + 5 = −3 · (−1)

Svar: x + 5 delt på (x − 1)(x + 2) = 2 delt på x − 1 − 1 delt på x + 2

Gang opp: x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1). Med x = 1 forsvinner B, og 6 = 3A gir A = 2. Med x = −2 forsvinner A, og 3 = −3B gir B = −1.

Øv selv: 15 oppgaver i delvis integrasjon og delbrøk med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å skrive at ∫1 delt på x² − 1 dx = ln|x² − 1| + C. Det gjelder bare når telleren er den deriverte av nevneren.
• Å glemme å faktorisere nevneren først.
• Å glemme absoluttverditegnet inni logaritmen.

På eksamen

Delbrøkoppspalting kommer på del 1 og del 2. Vis hvordan du finner A og B, og sjekk svaret ved å derivere eller ved å sette brøkene på felles brøkstrek.

Leksjonen hører til modulen Integrasjonsmetoder og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: delbrøk faktorisering

Les også

• Integrasjon ved substitusjon
• Substitusjon i bestemte integraler – forklart steg for steg
• Delvis integrasjon: formel og eksempler
• Integraler med trigonometriske funksjoner – forklart steg for steg
• Delvis integrasjon og delbrøk: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.