Hopp til innholdet

Fortegnslinje og monotoniegenskaper – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 5 · leksjon 5.1 · eksamen: del 1 og del 2

Den deriverte forteller om grafen går opp eller ned. Her lærer du å lage en fortegnslinje for f′(x), og å skrive hvor funksjonen vokser og hvor den avtar.

Dette er leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hva f′ sier

Er f′(x) > 0, vokser f. Er f′(x) < 0, avtar f. Der f′(x) = 0, er tangenten vannrett.

Slik lager du fortegnslinja

  1. Deriver, og faktoriser f′(x).
  2. Finn nullpunktene til hver faktor.
  3. Lag en linje for hver faktor, med stiplet linje der faktoren er negativ og hel linje der den er positiv.
  4. Gang fortegnene sammen til en linje for f′(x).

Eksempler

Eksempel 1: tredjegradsfunksjon

f(x) = x³ − 3x. Hvor vokser og avtar f?

f′(x) = 3x² − 3
3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
f′(−2) = 9
f′(0) = −3
f′(2) = 9

Svar: f vokser for x < −1 og for x > 1, og avtar for −1 < x < 1.

Nullpunktene er −1 og 1. Ett tall fra hvert område viser fortegnet: positivt, negativt, positivt.

Eksempel 2: med x som faktor

f(x) = x³ − 6x². Hvor vokser og avtar f?

f′(x) = 3x² − 12x
3x² − 12x = 3x(x − 4)
f′(2) = −12

Svar: f vokser for x < 0 og for x > 4, og avtar for 0 < x < 4.

Øv selv: 15 oppgaver i funksjonsdrøfting med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

På eksamen

Fortegnslinjer kommer på del 1 og del 2, ofte som første del av en funksjonsdrøfting. Fra våren 2027 lager du alt for hånd. Tegn en linje per faktor, merk nullpunktene, og skriv svaret med ulikheter for x.

Leksjonen hører til modulen Funksjonsdrøfting og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: fortegnslinje voksende avtagende

Les også

Mer om matte R1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.